Longrine de redressement : prise en compte des rotations élastiques

Longrine de redressement : et si la longrine n’était pas infiniment rigide ?

L’article consacré à la longrine de redressement rigide suppose que la semelle excentrée ne tourne pas : la longrine reprend tout le moment de redressement. En réalité la semelle repose sur un sol déformable et la longrine n’est pas infiniment raide en flexion. La semelle tourne un peu, le sol reprend une part du moment, et la longrine est moins sollicitée qu’on ne le croit. Cet article met en balance la raideur en rotation du sol sous la semelle et la raideur en flexion de la longrine pour trouver la rotation réelle à l’équilibre, puis la réaction du sol, son excentrement et la contrainte qui en résulte.

1. Le problème : trois moments en équilibre autour d’une même rotation

Au droit de la semelle excentrée, trois moments s’équilibrent autour d’une même rotation θ de la semelle :

• le moment de la charge P du poteau, excentrée de e par rapport au centre de la semelle ;
• le moment de rappel du sol, qui s’oppose à la rotation proportionnellement à sa raideur K_s ;
• le moment de rappel de la longrine, qui s’oppose elle aussi à la rotation proportionnellement à sa raideur K_l, augmenté de l’effet de son poids propre.

Avec l’hypothèse de la longrine infiniment rigide, θ est nul et la longrine reprend tout. Avec une longrine de raideur finie, θ prend la valeur qui équilibre exactement les trois moments : c’est l’objet de cet article.

Les Règles BAEL (B.9.1,1) admettent les deux voies pour une fondation excentrée : des dispositions qui compensent l’excentrement (poutre de redressement rigide), ou la détermination de la position de la résultante des réactions du sol « dans les conditions probables de la déformation ». Cette seconde voie est celle développée ici.

2. Le mécanisme : deux raideurs en parallèle, une rotation commune

Schéma et hypothèses

• La semelle excentrée est rigide : elle tourne d’un bloc d’un angle θ autour de son centre. Le bloc comprend la partie de la longrine qui la surmonte.
• Le sol est élastique, de coefficient de réaction k : la pression en un point est proportionnelle à l’enfoncement en ce point, et le sol ne travaille pas en traction.
• La longrine fléchit sur sa longueur libre l₀, du bord intérieur de la semelle à l’axe du poteau central, où elle est articulée (semelle voisine libre de tourner) ou encastrée (semelle voisine massive ou bridée).
• Le poteau central et sa semelle ne tassent pas par rapport à la semelle excentrée (pas de tassement différentiel).
• La charge P et le poids propre de la longrine sont les seules actions ; les charges sont pondérées à l’état limite ultime.

Raideur en rotation du sol

Une semelle rigide qui tourne de θ enfonce le sol de θ x à la distance x de son centre. La pression k θ x qui en résulte a pour moment résultant :

Cette relation suppose que toute la semelle reste comprimée : la résultante R de la réaction du sol doit rester dans le tiers central, c’est-à-dire e_R = M_s/R ≤ a’/6. Au-delà, un bord se décolle, le sol est moins raide que ne le dit la formule et la longrine plus sollicitée : la feuille ne conclut pas et recommande d’augmenter la raideur de la longrine ou de la semelle.

Raideur en flexion de la longrine

Imposer une rotation θ à l’extrémité d’une poutre de longueur l₀ demande un moment proportionnel à θ, et crée un effort tranchant qui s’applique au bord de la semelle :

Ces coefficients sont ceux de la résistance des matériaux (poutre d’Euler-Bernoulli, section constante). Dans le cas encastré, l’extrémité opposée développe un moment moitié, de même sens, et l’effort tranchant vaut 6 E I_l θ/l₀² : il ne faut pas l’oublier, car c’est lui qui charge la semelle excentrée et déleste le poteau central.

Le poids propre pondéré w de la longrine ajoute un moment d’encastrement au bord de la semelle, w l₀²/8 (articulé) ou w l₀²/12 (encastré), et une réaction au bord de la semelle V_w = 5 w l₀/8 (articulé, poutre encastrée-articulée) ou w l₀/2 (encastré) : tous deux tendent à faire tourner la semelle dans le sens inverse de la charge P.

Équilibre des moments

Les moments sont écrits autour du centre de la semelle. L’effort tranchant V_A transmis au bord de la semelle, à t = a’/2 du centre, a lui aussi un bras de levier. Point essentiel : le raccord A de la longrine est au bord de la semelle rigide. Quand la semelle tourne de θ, ce raccord tourne de θ et se déplace verticalement de t θ. Ce déplacement imposé raidit la longrine et augmente le moment et l’effort qu’elle transmet :

Une fois θ connu, tout en découle :

• M_s = K_s θ, moment repris par le sol ;
• M_l = K_l (1 + β t/l₀) θ + M_w, moment dans la longrine au bord de la semelle (fibre supérieure tendue) ;
• V_A, effort que la longrine exerce vers le bas sur la semelle excentrée, et E = V_A − w l₀, force de soulèvement sur la semelle centrale ;
• R = P + V_A + 1,35 G_s, réaction du sol, excentrée de e_R = M_s/R.

Le modèle est linéaire : il n’a de sens que pour une rotation petite. La feuille s’arrête au-delà de 1/150, rotation relative pour laquelle un état limite ultime est probable (NF P 94-261, L.3 (2)).

Quel module pour le béton ?

Le résultat dépend directement du module E de la longrine, et celui-ci varie du simple au triple selon la durée d’application des charges :

• BAEL 91 : E_ij = 11 000 f_cj^1/3 pour une durée inférieure à 24 heures (A.2.1,21) ; E_vj = 3 700 f_cj^1/3 sous charges de longue durée, fluage compris (A.2.1,22).
• Eurocode 2 : E_cm = 22 000 (f_cm/10)^0,3 avec f_cm = f_ck + 8 (Tableau 3.1) ; sous charges de longue durée, module effectif E_c,eff = E_cm/(1 + φ(∞,t₀)) (7.4.3 (5)), le coefficient de fluage étant calculé par l’Annexe B.1 à partir de l’humidité relative, de l’âge au chargement, de la classe du ciment et du rayon moyen h₀ = 2 A_c/u de la section.

Aucun des deux modules n’est défavorable pour tout : le module de longue durée (longrine souple) donne la rotation et l’excentrement maximaux ; le module de courte durée (longrine raide) donne le moment et l’effort maximaux transmis par la longrine. La feuille déroule donc le calcul avec les deux et retient, pour chaque vérification, la valeur la plus défavorable.

Réaction du sol et contrainte

La charge transmise au sol comprend le poids de la fondation (NF P 94-261, 9.1 (2)). La réaction R, excentrée de e_R, est répartie uniformément sur une largeur réduite selon le modèle de Meyerhof (NF P 94-261, G.2 (3)) :

La condition d’excentrement des situations durables, 1 − 2 e_R/a’ ≥ 1/15 (NF P 94-261, 9.5 (1)), est toujours satisfaite dès lors que la résultante reste dans le tiers central.

Non-soulèvement de la semelle centrale

La force E tire la semelle centrale vers le haut. Comme dans la fiche de la longrine rigide, on vérifie qu’elle reste inférieure au poids permanent minoré du poteau central, exploitation absente, en recalculant la rotation avec la combinaison d’équilibre :

• BAEL : P_éq = G₁ + 1,5 Q₁ contre 0,9 G₂ (B.3.3,1 et 4^e cas de B.6.1,21) ;
• Eurocode : P_éq = 1,10 G₁ + 1,5 Q₁ contre 0,9 G₂ (NF EN 1990 et annexe nationale, tableau A1.2(A)(NF)).

Le poids propre de la longrine, qui charge le poteau central, est négligé dans cette seule vérification, où il stabilise.

Notations

3. Les étapes de la justification

La feuille reprend les huit temps suivants :

1. Charges pondérées : P, poids propre w de la longrine, poids G_s de la fondation.
2. Géométrie : excentrement e, longueur libre l₀, classement en poutre.
3. Modules du béton de courte et de longue durée, selon le référentiel.
4. Raideurs K_s du sol et K_l de la longrine (deux valeurs), moment d’encastrement du poids propre.
5. Rotation d’équilibre θ, moments M_s et M_l, efforts V_A et E ; validité du modèle (rotation ≤ 1/150, semelle entièrement comprimée).
6. Réaction du sol R, excentrement e_R, contrainte σ_V;d comparée à q_s.
7. Non-soulèvement de la semelle centrale avec la combinaison d’équilibre du référentiel.
8. Comparaison avec l’hypothèse de la longrine rigide, sur les mêmes données.

L’exemple traité

Ce sont les données de la fiche de la longrine rigide, pour comparer les deux approches :

BAEL 91. E_v28 = 10 819 MPa et E_i28 = 32 164 MPa. K_s = 13,13 MN·m/rad ; K_l = 38,1 MN·m/rad (longue durée) ou 113,4 MN·m/rad (courte durée). Rotation θ = 4,20 × 10⁻³ rad (1/238) ou 1,61 × 10⁻³ rad (1/623). Moment dans la longrine au bord de la semelle M_l = 0,209 ou 0,236 MN·m ; soulèvement E = 0,049 ou 0,057 MN. Réaction du sol R = 0,684 ou 0,692 MN, excentrée de 0,081 ou 0,030 m (tiers central : 0,293 m), soit σ_V;d = 2,52 ou 2,39 bar, valeur retenue 2,52 bar ≤ 3,0 bar. Non-soulèvement : E_éq = 0,057 MN ≤ 0,9 G₂ = 0,306 MN. Toutes les vérifications réalisées sont satisfaites.

Eurocode 2. E_cm = 31 476 MPa ; h₀ = 194 mm, φ(∞,t₀) = 1,92, E_c,eff = 10 772 MPa. Les résultats sont pratiquement ceux du mode BAEL : θ = 4,22 × 10⁻³ rad, M_l = 0,209 ou 0,236 MN·m, σ_V;d = 2,52 bar ≤ 3,0 bar. Non-soulèvement avec 1,10 G₁ + 1,5 Q₁ : E_éq = 0,060 MN ≤ 0,306 MN. Toutes les vérifications réalisées sont satisfaites.

Comparaison avec l’hypothèse rigide. Sur les mêmes données, la longrine rigide donne R = 0,641 MN (hors poids de la fondation), E = 0,062 MN et un moment de 0,253 MN·m au bord de la semelle, avec une réaction du sol centrée de 2,33 bar. La méthode élastique soulage la longrine (0,209 à 0,236 MN·m) et le poteau central (0,049 à 0,057 MN), mais la réaction du sol reste excentrée : la contrainte de calcul passe de 2,33 à 2,52 bar. C’est pour cette raison que l’exemple retient q_s = 3,0 bar, et non 2,5 bar comme dans la fiche rigide.

4. Ce qu’il faut retenir

• L’hypothèse de la longrine infiniment rigide est toujours défavorable pour la longrine et pour le poteau central (elle leur fait reprendre tout le moment), mais elle ne l’est pas pour le sol : en laissant tourner la semelle, la réaction du sol reste excentrée et la contrainte transmise augmente.
• La raideur du sol K_s croît comme le cube de a’ : une semelle allongée dans le sens de la longrine devient vite plus raide que la longrine, qui ne reprend alors qu’une part réduite du moment.
• Le module du béton pèse autant que la géométrie : entre courte et longue durée, K_l varie du simple au triple. Il faut dérouler les deux calculs, l’un donnant la rotation maximale, l’autre les efforts maximaux dans la longrine.
• Le modèle n’est valable que si la semelle reste entièrement comprimée (e_R ≤ a’/6) et si la rotation reste petite (≤ 1/150). Sinon, il faut raidir la longrine (hauteur, encastrement sur la semelle voisine) ou élargir la semelle, puis recalculer.
• Le raccord de la longrine est au bord de la semelle : quand la semelle tourne de θ, il descend aussi de t θ. Oublier ce déplacement sous-estime la raideur de la longrine, son moment et le soulèvement du poteau central. Dans le cas encastré, l’effort tranchant transmis à la semelle vaut 1,5 K_l (1 + 2 t/l₀) θ/l₀.

5. Références

• Règles BAEL 91 révisées 99 (DTU P 18-702) : A.2.1,21 et A.2.1,22 (modules de déformation instantanée et différée), B.3.3,1 et B.6.1,21 (équilibre statique), B.6.8,1 (parois fléchies), B.9.1,1 (fondations excentrées), B.9.2 (combinaison 1,35 G + 1,5 Q_B).
• NF EN 1992-1-1 (Eurocode 2) et annexe nationale : Tableau 3.1 (E_cm, f_cm), 3.1.3 (déformation élastique), 3.1.4 et Annexe B.1 (coefficient de fluage), 5.3.1 (3) (définition de la poutre), 7.4.3 (5) (module effectif, expression (7.20)).
• NF EN 1990 (Eurocode 0) et annexe nationale : tableaux A1.2(A)(NF) (équilibre EQU) et A1.2(B)(NF) (combinaison fondamentale).
• NF EN 1991-1-1 (Eurocode 1) : tableau A.1, poids volumique du béton armé.
• NF P 94-261 (fondations superficielles) : 9.1 (2) (charge transmise au sol, poids de la fondation compris), 9.5 (1) (excentrement en situation durable), 13.2 (6) (coefficients de réaction), annexe G.2 (modèle de Meyerhof), annexe L.3 (2) (rotations relatives admissibles).
• Longrine de redressement rigide (NC-02-13-09-02, hypothèse simplifiée, sans rotation) : mêmes données, ferraillage de la longrine et de la semelle.

6. Feuille de calcul