Flexion simple à l’ELU selon

Flexion simple à l’ELU selon l’Eurocode 2 : diagrammes et moment réduit

Flexion simple à l’ELU selon l’Eurocode 2

Article NC-02-12-03-52 · Référentiel : Eurocode 2 (NF EN 1992-1-1 et annexe nationale) · Méthode : diagramme rectangulaire simplifié, moment réduit limite · Niveau : jeune ingénieur structure

La justification d’une section rectangulaire en flexion simple à l’état limite ultime selon l’Eurocode 2 repose, comme au BAEL, sur un diagramme rectangulaire simplifié des contraintes du béton comprimé. Le moment réduit μ_bu, comparé à un moment réduit limite μ_R, dit si des aciers tendus suffisent ou s’il faut ajouter des aciers comprimés. Cet article présente la méthode complète, y compris ce second cas, et un recoupement par le moment résistant de la section trouvée.

Avertissement : exemple de calcul à but pédagogique

Cette page présente une méthode de calcul destinée à l’apprentissage de la justification élémentaire des éléments de structure en béton armé selon l’Eurocode 2. Elle ne constitue pas un outil de dimensionnement d’ouvrages réels.

NEOGENESIS décline toute responsabilité quant à l’utilisation de ces calculs dans des projets qui ne sont pas contrôlés par NEOGENESIS. Le seul moyen d’engager notre responsabilité est de faire valider ces calculs par nos ingénieurs dans le cadre d’une mission de contrôle technique.

1. Le problème : déterminer la section d’acier tendu (et, si besoin, comprimé)

Connaissant le moment ultime M_u et les dimensions de la section (b₀, h, d), il faut déterminer la section d’armatures tendues A qui équilibre ce moment.

On vérifie d’abord si des aciers tendus seuls suffisent, l’acier travaillant à sa résistance de calcul. Si le moment est trop fort pour la section, on ajoute des aciers comprimés A’.

2. Le mécanisme : moment réduit, moment réduit limite, position de l’axe neutre

Domaine d’emploi

La méthode suppose que les sections planes restent planes (§6.1). Elle vaut pour la section courante d’une poutre, hors des zones de discontinuité (appuis, charges concentrées, ouvertures). Au sens du §5.3.1(3), une poutre a une portée L au moins égale à 3 fois sa hauteur totale h ; sinon, c’est une poutre-cloison, avec des dispositions particulières (§9.7), que l’Eurocode 2 permet de calculer par un modèle bielles et tirants (§5.6.4). La feuille demande donc h et L, et ne calcule pas hors de ce domaine.

Résistances de calcul

f_cd = α_cc f_ck / γ_c ; f_yd = f_yk / γ_s ; ε_yd = f_yd / E_s

α_cc = 1 : valeur recommandée, retenue par l’annexe nationale française (§3.1.6(1)P) ; il n’y a donc pas de coefficient 0,85 sur f_cd.
γ_c = 1,5 et γ_s = 1,15 en situation durable ou transitoire (Tableau 2.1N, retenu par l’annexe nationale).
E_s = 200 000 MPa (§3.2.7(4)).
f_yk : l’annexe nationale limite f_yk à 500 MPa en général, 600 MPa n’étant admis qu’avec une justification à l’ELS, y compris de l’ouverture des fissures (§3.2.2(3)P). La feuille, qui ne traite que l’ELU, accepte 400 à 500 MPa.

Diagrammes de calcul des matériaux

Béton : diagramme rectangulaire de hauteur λ x et d’intensité η f_cd, avec λ = 0,8 et η = 1 pour f_ck ≤ 50 MPa (§3.1.7(3)), raccourcissement ultime ε_cu3 = 3,5 ‰ (Tableau 3.1). La feuille ne couvre que ces bétons.
Acier : diagramme élastique puis palier horizontal à f_yd, sans limite de déformation à vérifier (§3.2.7(2) b).

Moment réduit et moment réduit limite

μ_bu = M_u / (b₀ d² f_cd)
α_R = 3,5 / (3,5 + 1000 ε_yd) ; μ_R = 0,8 α_R (1 − 0,4 α_R)

α_R est la hauteur relative de béton comprimé pour laquelle l’acier tendu atteint tout juste ε_yd au moment où la fibre la plus comprimée atteint 3,5 ‰. Au-delà (μ_bu > μ_R), l’acier tendu seul ne serait plus plastifié : il travaillerait sous f_yd et la section serait mal utilisée. On bloque alors l’axe neutre à α_R d et on ajoute des aciers comprimés.

μ_R dépend de l’acier : 0,372 pour f_yk = 500 MPa (α_R = 0,617), 0,392 pour f_yk = 400 MPa (α_R = 0,668). Ce n’est pas la frontière entre pivots A et B : avec le palier horizontal, l’allongement de l’acier n’est pas limité.

Aciers tendus seuls (μ_bu ≤ μ_R)

α = 1,25 [1 − √(1 − 2 μ_bu)]
z = d (1 − 0,4 α) ; A = M_u / (z f_yd)

Aciers tendus et comprimés (μ_bu > μ_R)

La section de béton reprend au plus le moment limite M_R = μ_R b₀ d² f_cd, avec l’axe neutre à x_R = α_R d. Le complément M_u − M_R est repris par un couple aciers comprimés / aciers tendus de bras de levier d − c’ :

ε_sc = 3,5 ‰ (x_R − c’) / x_R ; σ_sc = min(E_s ε_sc ; f_yd)
A’ = (M_u − M_R) / [(d − c’) (σ_sc − f_cd)]
A = M_R / [(1 − 0,4 α_R) d f_yd] + A’ (σ_sc − f_cd) / f_yd

L’acier comprimé n’atteint f_yd que si ε_sc ≥ ε_yd, ce qui dépend de c’ ; sinon, sa contrainte est E_s ε_sc.
Le terme σ_sc − f_cd retire le béton du rectangle comprimé occupé par les aciers A’ (compté deux fois sinon) ; il ne s’applique que si c’ ≤ 0,8 x_R. Le négliger sous-estime A’ d’environ 4 % dans l’exemple.
Si c’ ≥ x_R, les aciers « comprimés » seraient tendus : la feuille ne donne alors pas de résultat.

Sections minimale et maximale

A_s,min = 0,26 (f_ctm/f_yk) b₀ d, avec f_ctm = 0,30 f_ck^2/3 (Tableau 3.1) : l’annexe nationale ne retient que cette expression (§9.2.1.1(1)). La section à retenir est max(A ; A_s,min).
A_s,max = 0,04 A_c = 0,04 b₀ h (§9.2.1.1(3)), appliquée par la feuille à la somme A + A’.

Recoupement : moment résistant de la section trouvée

Pour une section sans aciers comprimés dont l’acier tendu est plastifié, l’équilibre du diagramme rectangulaire s’écrit avec un seul coefficient p = A f_yd / (b₀ d f_cd) (égal à 0,8 α) :

M_Rd = A f_yd d (1 − p/2)acier tendu plastifié : α ≤ α_R

Cette forme est exacte dans ce domaine : elle permet de vérifier une section déjà ferraillée, et la feuille l’utilise pour recouper son calcul (M_Rd = M_u).

Notations

b₀, h, d	largeur, hauteur totale, hauteur utile
c’	distance de la fibre comprimée à l’axe de l’acier comprimé
L	portée de l’élément
M_u	moment fléchissant ultime sollicitant
f_ck, f_cd	résistance caractéristique et de calcul du béton
f_yk, f_yd, ε_yd	limite d’élasticité caractéristique et de calcul de l’acier, allongement correspondant
μ_bu, μ_R	moment réduit sollicitant, moment réduit limite
α, α_R	position relative de l’axe neutre (x = α d), sa valeur limite
A, A’	section d’acier tendu, section d’acier comprimé
ε_sc, σ_sc	raccourcissement et contrainte de l’acier comprimé

Eurocode 2 et BAEL 91 : ce qui change

1. Même diagramme, résistance différente

Le BAEL admet le même diagramme rectangulaire de hauteur 0,8 y_u (A.4.3,42), le même raccourcissement de 3,5 ‰ et le même module E_s = 200 000 MPa : pour un même acier, α_R et μ_R sont identiques. La différence porte sur la résistance du béton : f_bu = 0,85 f_c28/(θ γ_b) au BAEL, f_cd = f_ck/1,5 en Eurocode 2 avec l’annexe nationale française, soit 1/0,85 = 1,18 fois plus. Le moment réduit est donc plus faible en Eurocode 2 pour le même béton.

2. Pas de pivot A avec le palier horizontal

Le BAEL limite l’allongement de l’acier à 10 ‰ (pivot A). L’Eurocode 2 laisse le choix (§3.2.7(2)) : palier horizontal sans limite de déformation, retenu ici, ou branche inclinée avec la limite ε_ud (valeur recommandée 0,9 ε_uk, retenue par l’annexe nationale).

3. Bétons à haute résistance

Pour f_ck > 50 MPa, λ et η diminuent : λ = 0,8 − (f_ck − 50)/400 et η = 1 − (f_ck − 50)/200 (§3.1.7(3)), et ε_cu3 diminue aussi (Tableau 3.1). Ces bétons ne sont pas couverts par la feuille.

3. Les étapes de la justification

Domaine d’emploi : poutre, et non poutre-cloison.
Résistances de calcul du béton f_cd et de l’acier f_yd.
Moment réduit sollicitant μ_bu et moment réduit limite μ_R.
Régime : aciers tendus seuls, ou aciers tendus et comprimés.
Section d’acier selon le régime (A, et A’ le cas échéant).
Sections minimale et maximale.
Recoupement par le moment résistant de la section trouvée.

L’exemple traité

Section	b₀ × h = 0,35 × 0,80 m, d = 0,75 m, c’ = 0,05 m
Portée	L = 8,00 m
Moment	M_u = 1,25 MN·m
Matériaux	béton 25 MPa (f_cd = 16,67 MPa), acier 500 MPa (f_yd = 434,8 MPa, ε_yd = 2,17 ‰)

Domaine. L = 8,00 m ≥ 3 h = 2,40 m : c’est une poutre.

Régime. μ_bu = 0,381 > μ_R = 0,372 : des aciers comprimés sont nécessaires.

Aciers comprimés. x_R = 0,617 × 0,75 = 0,463 m ; ε_sc = 3,12 ‰ ≥ ε_yd, donc σ_sc = f_yd. M_R = 1,220 MN·m et A’ = 1,03 cm².

Aciers tendus. A = 49,66 + 0,995 = 50,65 cm², bien au-dessus de A_s,min = 3,50 cm² ; A + A’ = 51,69 cm² ≤ A_s,max = 112 cm². Le recoupement redonne M_Rd = 1,25 MN·m.

Cas sans aciers comprimés. Avec b₀ = 0,25 m, h = 0,65 m, d = 0,60 m et M_u = 0,310 MN·m, la feuille trouve μ_bu = 0,207, α = 0,293 et A = 13,46 cm², comme la fiche de flexion simple en mode Eurocode 2 (article 02-12-03-02).

4. Ce qu’il faut retenir

Le moment réduit limite μ_R dépend de la nuance d’acier (via ε_yd = f_yd/E_s) : 0,372 pour 500 MPa, 0,392 pour 400 MPa. Ce n’est pas une constante universelle.
Lorsque des aciers comprimés sont nécessaires, leur contrainte σ_sc doit être calculée : elle n’atteint f_yd que si ε_sc ≥ ε_yd, ce qui dépend de l’enrobage c’.
La résistance de calcul du béton se prend f_cd = f_ck/1,5, sans coefficient 0,85 : l’annexe nationale française retient α_cc = 1.
La formule à un coefficient p est exacte tant que l’acier tendu est plastifié : elle sert à vérifier une section déjà ferraillée sans aciers comprimés.
La section trouvée se compare toujours aux sections minimale (non-fragilité) et maximale.

5. Références

NF EN 1992-1-1 (Eurocode 2), Calcul des structures en béton, Partie 1-1 : règles générales et règles pour les bâtiments : coefficients partiels (§2.4.2.4, Tableau 2.1N), caractéristiques du béton (Tableau 3.1), f_cd (§3.1.6), diagramme rectangulaire (§3.1.7(3)), aciers (§3.2.2, §3.2.7), définition de la poutre (§5.3.1(3)), modèle bielles et tirants (§5.6.4), flexion (§6.1), sections minimale et maximale (§9.2.1.1), poutres-cloisons (§9.7).
NF EN 1992-1-1/NA (mars 2016), annexe nationale française : α_cc = 1, coefficients partiels, f_yk limité à 500 MPa sauf justification à l’ELS, A_s,min par la première expression de (9.1N).

NEOPEDIA · en pratique

Nos ingénieurs vérifient systématiquement, lorsqu’une section nécessite des aciers comprimés, que la contrainte retenue en note de calcul pour ces aciers (souvent prise égale à f_yd par simplification) correspond bien à un raccourcissement ε_sc supérieur à ε_yd, compte tenu de l’enrobage réel prévu en exécution.

Découvrir nos missions de contrôle technique

6. Feuille de calcul