Flexion composée d’une section

Flexion composée d’une section rectangulaire à l’ELU

Article NC-02-12-03-20 · Référentiel : BAEL 91 révisées 99 (l’Eurocode 2 n’est pas traité par cette feuille) · Niveau : jeune ingénieur structure

Une section soumise à la fois à un effort normal (compression ou traction) et à un moment fléchissant ne se calcule pas comme une section en flexion simple : l’effort normal déplace l’axe neutre et change la nature du problème. Selon l’intensité et l’excentricité de la sollicitation, la section est entièrement comprimée, partiellement comprimée (avec ou sans armatures comprimées) ou entièrement tendue. Cet article montre comment identifier le régime puis calculer les armatures avec les Règles BAEL, dans une feuille de calcul modifiable.

Avertissement : exemple de calcul à but pédagogique

Cette page présente un exemple de calcul destiné à l’apprentissage du calcul des armatures d’une section rectangulaire en flexion composée à l’ELU. Elle ne constitue pas un outil de dimensionnement d’ouvrages réels.

La feuille traite la section partiellement comprimée (dans la limite μ < 0,48 qu’elle se fixe, voir §2) et la section entièrement tendue. Elle ne traite pas la section entièrement comprimée, ni les effets du second ordre : le moment saisi doit déjà les contenir.

NEOGENESIS décline toute responsabilité quant à l’utilisation de ces calculs dans des projets qui ne sont pas contrôlés par NEOGENESIS. Le seul moyen d’engager notre responsabilité est de faire valider ces calculs par nos ingénieurs dans le cadre d’une mission de contrôle technique.

1. Le problème : l’effort normal change la nature du calcul

En flexion simple, la position de l’axe neutre se déduit du seul moment. En flexion composée, effort normal et moment agissent ensemble : il faut d’abord savoir dans quel régime se trouve la section avant d’appliquer une formule.

Les Règles BAEL décrivent ces régimes par les diagrammes de déformations limites de la section, définis à partir de trois pivots (A.4.3,3) :

domaine 1, pivot A (allongement de l’acier limité à 10 ‰) : flexion simple ou composée sans épuisement du béton ; lorsque toute la section est allongée, c’est la traction de faible excentricité (section entièrement tendue) ;
domaine 2, pivot B (raccourcissement du béton de 3,5 ‰) : flexion simple ou composée avec épuisement du béton sur la fibre la plus comprimée ;
domaine 3, pivot C : section entièrement comprimée, hors du champ de cette feuille.

Confondre ces régimes conduit à des formules inapplicables et à un ferraillage faux.

2. Le mécanisme : tout ramener au centre de gravité des aciers tendus

Moment ramené

On remplace le couple (N_u, M_u), défini au centre de gravité de la section de béton, par son moment M_A au centre de gravité des armatures A₁ :

M_A = M_u + N_u (h/2 − c₁) d = h − c₁N_u positif en compression, M_u ≥ 0 tendant A₁

M_A se traite alors comme un moment de flexion simple, puis on retranche N_u de l’effort équilibré par les aciers tendus.

Hypothèses du BAEL retenues par la feuille

diagramme rectangulaire simplifié du béton, admis lorsque la section n’est pas entièrement comprimée (A.4.3,42) : contrainte nulle sur 0,2 y_u à partir de l’axe neutre, puis f_bu sur les 0,8 y_u restants ;
f_bu = 0,85 f_c28/(θ γ_b), avec γ_b = 1,5 (combinaisons fondamentales) et θ = 1 (durée d’application supérieure à 24 h) (A.4.3,41) ;
f_ed = f_e/γ_s, avec γ_s = 1,15, et diagramme élastique parfaitement plastique des aciers, E_s = 200 000 MPa (A.2.2,1, A.2.2,2 et A.4.3,2) ;
raccourcissement du béton limité à 3,5 ‰ en flexion, allongement de l’acier à 10 ‰, résistance du béton tendu négligée (A.4.3,2) ;
béton de résistance caractéristique au plus égale à 60 MPa (A.1.1) ;
aciers de limite d’élasticité f_e comprise entre 400 et 500 MPa (domaine de la feuille) : A.8.1,21 recommande au moins 400 MPa pour les pièces comprimées, et les formules supposent que l’acier tendu atteint f_ed avant l’allongement limite de 10 ‰ ;
c₁ et c₂ au moins égaux à 1 cm, l’enrobage ne pouvant être inférieur à 1 cm (A.7.1).

Moment réduit et valeurs limites du pivot B

μ = M_A / (b₀ d² f_bu) α = 1,25 (1 − √(1 − 2μ))

La frontière utile est celle où le béton atteint 3,5 ‰ pendant que l’acier tendu atteint tout juste sa limite élastique de calcul ε_l = f_ed/E_s :

α_R = 3,5 / (3,5 + 1000 ε_l) μ_R = 0,8 α_R (1 − 0,4 α_R)

f_e = 400 MPa : α_R = 0,668 et μ_R = 0,392 ;
f_e = 500 MPa : α_R = 0,617 et μ_R = 0,372.

La feuille calcule ces valeurs à partir de f_e, sans table ni interpolation.

Section partiellement comprimée sans armatures comprimées (μ ≤ μ_R)

A₁ = [M_A / ((1 − 0,4 α) d) − N_u] / f_ed A₂ = 0

Section partiellement comprimée avec armatures comprimées (μ_R < μ < 0,48)

On bloque l’axe neutre à y_R = α_R d ; le béton équilibre M_R, les armatures comprimées A₂ le reste :

M_R = μ_R b₀ d² f_bu ε_s2 = 3,5 ‰ × (y_R − c₂)/y_R σ_s2 = min(f_ed ; E_s ε_s2)
A₂ = (M_A − M_R) / [(d − c₂) σ_s2] A₁ = [M_R / ((1 − 0,4 α_R) d) + A₂ σ_s2 − N_u] / f_ed

Les armatures comprimées ne comptent que si elles sont entourées d’armatures transversales tous les 15 diamètres au plus (A.4.1,2).
Pour les poutres, la part du moment équilibrée par les armatures comprimées doit rester inférieure à 40 % du moment ultime, moments rapportés aux aciers tendus en flexion composée (B.6.6,1). Dans le domaine de la feuille, cette part vaut au plus 1 − μ_R/0,48, soit 22,6 % pour f_e = 500 MPa : la règle est donc satisfaite.

Section entièrement tendue (N_u < 0 et M_A ≤ 0)

Le point d’application de la traction tombe entre les deux nappes : aucun béton comprimé ne peut participer, les deux nappes équilibrent seules la sollicitation. La feuille les fait travailler toutes deux à f_ed :

A₂ = −M_A / [(d − c₂) f_ed] A₁ = −N_u/f_ed − A₂

Domaine de la feuille

μ < 0,48 : c’est la valeur de μ pour α = 1, c’est-à-dire un axe neutre au niveau des armatures A₁. Cette borne est une hypothèse de la feuille, pas une règle du BAEL : au-delà, la feuille ne calcule pas et renvoie à un calcul complet par le diagramme des déformations (A.4.3,3) ou à une section de béton plus grande.
A₁ positive : si le calcul donne A₁ ≤ 0, le béton comprimé suffit à équilibrer l’effort normal : selon le cas, aucune armature tendue n’est nécessaire (sections minimales seules) ou la section est entièrement comprimée. La feuille ne tranche pas entre ces deux cas et affiche « méthode non applicable » sans résultat.
M_u ≥ 0 : A₁ est la nappe tendue par le moment. Pour un moment de l’autre sens, on permute c₁ et c₂.

Notations

b₀, h	largeur et hauteur de la section
A₁, c₁	armatures tendues (ou les moins comprimées) et distance de leur centre de gravité à la fibre la plus tendue
A₂, c₂	armatures comprimées (ou les moins tendues) et distance de leur centre de gravité à la fibre la plus comprimée
f_bu, f_ed	résistances de calcul du béton et de l’acier
M_u, N_u	moment et effort normal de calcul (N_u > 0 en compression)
M_A	moment ramené au centre de gravité de A₁
α, α_R ; μ, μ_R	hauteur relative de l’axe neutre et sa valeur limite (pivot B, acier à f_ed) ; moment réduit et sa valeur limite

Flexion composée avec compression : ce que M_u doit contenir

1. Excentricité additionnelle

Pour un effort normal de compression, l’excentricité additionnelle e_a, qui traduit les imperfections géométriques, s’ajoute à l’excentricité des efforts appliqués. Elle vaut la plus grande des deux valeurs 2 cm et l/250, l étant la longueur de la pièce (A.4.3,5).

2. Effets du second ordre

Les sections comprimées se justifient avec une excentricité totale e = e₁ + e₂ (A.4.3,5 et A.4.4). Lorsque l_f/h est inférieur à la plus grande des deux valeurs 15 et 20 e₁/h, le second ordre peut être pris en compte forfaitairement :

e₂ = 3 l_f² (2 + α φ) / (10⁴ h)

α : rapport du moment du premier ordre dû aux charges permanentes et quasi permanentes au moment total du premier ordre (entre 0 et 1) ;
φ : rapport de la déformation de fluage à la déformation instantanée, généralement pris égal à 2.

La feuille ne calcule ni e_a ni e₂ : le moment M_u saisi est supposé les contenir, soit M_u = N_u (e₁ + e₂) pour une pièce comprimée.

3. Ce qui reste à vérifier

condition de non-fragilité (A.4.2) ;
sections minimale et maximale des pièces comprimées : 4 cm² par mètre de paroi et 0,2 % de la section de béton comprimé au moins, 5 % au plus hors recouvrements (A.8.1,21) ;
états limites de service et dispositions constructives.

Les Règles BAEL excluent de leur champ les murs et parois en béton banché, qui relèvent du DTU 23.1 (B.8.0) : la feuille vise les poteaux, poutres et tirants de section rectangulaire.

3. Les étapes de la méthode

Contraintes de calcul f_bu, f_ed et valeurs limites α_R, μ_R.
Hauteur utile et moment ramené M_A au centre de gravité de A₁.
Régime : section entièrement tendue, section partiellement comprimée (comparaison de μ à μ_R), ou hors domaine (μ ≥ 0,48).
Sections d’armatures A₁ (et A₂ si nécessaire), selon le régime identifié.
Contrôle de cohérence : recalcul du moment résistant de la section armée (quand A₂ = 0).

L’exemple traité

Section	b₀ × h = 0,50 × 0,70 m, c₁ = c₂ = 0,05 m
Matériaux	béton f_c28 = 25 MPa, acier f_e = 500 MPa
Sollicitations	N_u = 2,090 MN (compression), M_u = 0,600 MN·m (excentricités additionnelle et du second ordre supposées incluses)

BAEL 91. f_bu = 14,17 MPa et f_ed = 434,8 MPa, d’où α_R = 0,617 et μ_R = 0,372.

Avec d = 0,65 m, M_A = 0,600 + 2,090 × 0,30 = 1,227 MN·m et μ = 0,410. Comme μ_R < μ < 0,48, des armatures comprimées sont nécessaires.

M_R = 1,112 MN·m, y_R = 0,401 m, ε_s2 = 3,06 ‰ donc σ_s2 = f_ed. On obtient A₂ = 4,39 cm² et A₁ = 8,58 cm². La feuille affiche « Sections d’armatures déterminées ».

Avec un acier f_e = 400 MPa, les mêmes sollicitations donneraient A₂ = 2,63 cm² et A₁ = 13,29 cm² : l’acier plus résistant réduit A₁ mais abaisse μ_R, ce qui augmente A₂.

4. Ce qu’il faut retenir

Ne jamais appliquer directement les formules de flexion simple à M_u : il faut d’abord le ramener en M_A au niveau des aciers tendus, effort normal compris, puis retrancher N_u de l’effort des aciers tendus.
La section entièrement tendue (N_u < 0 et M_A ≤ 0) concerne les tirants et les éléments tendus à faible excentricité : le béton n’y participe pas, les deux nappes équilibrent seules l’effort.
μ_R dépend de la nuance d’acier : 0,392 pour f_e = 400 MPa, 0,372 pour f_e = 500 MPa. Au-delà, l’acier tendu n’atteindrait plus f_ed sans armatures comprimées.
Un A₁ négatif n’est pas « un ferraillage nul » : il signale que la compression l’emporte et que la méthode ne s’applique plus.
Pour une pièce comprimée, le moment de calcul inclut l’excentricité additionnelle et le second ordre (A.4.3,5) ; les oublier sous-estime les armatures.

5. Pour aller plus loin : calcul complet par le diagramme des déformations

Hors du domaine de la feuille (section entièrement comprimée, μ ≥ 0,48), le calcul se fait en écrivant directement l’équilibre de la section pour un diagramme de déformations passant par l’un des pivots A, B ou C (A.4.3,3), avec le diagramme parabole-rectangle du béton (A.4.3,41) : on cherche par itérations la position de l’axe neutre qui équilibre N_u, puis on compare le moment résistant à M_u.

Ce calcul, long à la main, se fait en pratique avec un logiciel ou des diagrammes d’interaction. Il n’est pas programmé dans la feuille ci-dessous.

6. Références

Règles BAEL 91 révisées 99 (DTU P 18-702) : domaine d’application (A.1.1), module et diagramme des aciers (A.2.2,1 et A.2.2,2), enrobage (A.7.1), armatures comprimées (A.4.1,2), non-fragilité (A.4.2), état limite ultime de résistance (A.4.3,2 hypothèses, A.4.3,3 pivots, A.4.3,41 et A.4.3,42 diagrammes du béton), flexion composée avec compression (A.4.3,5), stabilité de forme (A.4.4), pièces comprimées (A.8.1,21), armatures comprimées des poutres (B.6.6,1), exclusion des murs en béton banché (B.8.0).
En France, la NF EN 1992-1-1 et son annexe nationale ont remplacé les Règles BAEL (FD P18-717, avant-propos) ; la présente feuille s’adresse aux projets dont le marché prescrit le BAEL.

NEOPEDIA · en pratique

Nos ingénieurs recommandent de toujours identifier explicitement le régime d’une section en flexion composée avant tout calcul de ferraillage, et de ne jamais présumer qu’une seule nappe d’armatures suffit sans avoir comparé μ à μ_R.

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