Poussée des terres sur un mur de soutènement : Rankine, Coulomb et coefficients Ka

Poussée des terres sur un mur de soutènement : Rankine, Coulomb et coefficients Ka

Tout mur de soutènement, toute paroi enterrée, tout voile périphérique de sous-sol est soumis à la poussée du massif de terre qu’il retient. Cette poussée dépend d’un coefficient sans dimension, K_a, qui relie la contrainte exercée par le sol à la profondeur considérée. La formule de Coulomb, admise par la NF P 94-281 pour la poussée, le donne directement dans les cas courants ; la procédure analytique de l’annexe C de l’Eurocode 7 sert de contrôle, et le cas particulier de Rankine, plus simple, fixe l’ordre de grandeur.

1. Le problème : quantifier la pression qu’exerce un massif de terre sur un écran

Un massif de terre placé derrière un écran de soutènement n’est pas un fluide au repos : sa pression dépend de la manière dont l’écran se déplace sous cette pression (NF EN 1997-1, 9.5.1 (1)P).

• État de poussée (actif), coefficient K_a. Si l’écran peut s’éloigner légèrement du massif, l’effort de réaction nécessaire pour le retenir diminue avec le déplacement et atteint assez rapidement une valeur limite : l’effort de poussée (NF P 94-281, 4.2 (1)).
• État au repos, coefficient K₀. Si l’écran est bloqué en tête et ne bouge pratiquement pas, le terrain ne présente pas nécessairement un état de poussée ; il convient alors de définir le coefficient de poussée avec prudence et, dans certains cas, de considérer K₀ (NF P 94-281, 4.2 (2)). Dans un sol normalement consolidé, l’état au repos est admis derrière l’ouvrage lorsque son mouvement est inférieur à 5·10⁻⁴ h (NF EN 1997-1, 9.5.2 (2)).
• État de butée (passif), coefficient K_p. Si au contraire l’écran est poussé contre le terrain, l’effort augmente lentement avec le déplacement jusqu’à une valeur limite : l’effort de butée (NF P 94-281, 4.2 (3)). Les efforts de butée interviennent en général peu dans la stabilité d’un mur, et il est primordial de s’assurer de leur pérennité pour pouvoir les considérer (4.2 (5)).

Les valeurs limites de la poussée et de la butée sont déterminées, dans la NF P 94-281, à partir des coefficients de Caquot, Kérisel et Absi, tirés de leurs tables ou d’une procédure numérique du côté de la sécurité (5.1.2.2 (3)). La procédure analytique de l’annexe C de la NF EN 1997-1 peut être utilisée dans les cas courants (NOTE 2) et, pour la poussée seulement, d’autres théories comme celle de Coulomb peuvent l’être aussi (NOTE 3). C’est ce double calcul que fait la feuille.

2. Le mécanisme : un coefficient qui dépend de la géométrie et du frottement du sol

Les quatre angles

Le coefficient de poussée active K_a dépend de l’angle de frottement interne φ’ du terrain et de trois angles géométriques définis par la figure 1, avec les conventions de signes de Kérisel et Absi reprises par la NF P 94-281 (3.3, Figure 3.3.1) :

• β, inclinaison du talus sur l’horizontale, positive vers le haut ;
• δ, inclinaison de la poussée sur la normale à l’écran, positive lorsque la poussée est dirigée vers le bas (le terrain tasse par rapport à l’écran) ; pour la poussée, δ est compris entre 0 et φ’, et plus généralement entre 0 et 2/3 φ’ (NF P 94-281, 4.2 (4)) ;
• λ, inclinaison de l’écran sur la verticale, positive lorsque le sommet de l’écran est déporté vers l’aval, c’est-à-dire lorsque le sol repose sur le parement.

La formule de Coulomb

Coulomb suppose une surface de rupture plane et écrit l’équilibre du coin de terre compris entre l’écran et cette surface ; la poussée est la plus grande des forces obtenues en faisant varier l’inclinaison du plan de rupture. Le résultat s’écrit avec le coefficient :

La théorie de Coulomb ne fournit que l’amplitude de la force ; on admet que les contraintes qui la génèrent sont proportionnelles à la profondeur et s’appliquent sur le plan fictif de calcul (NF P 94-281, 8.5.1 (4) NOTE 1) : répartition triangulaire, résultante au tiers inférieur de H. La normale à l’écran étant inclinée de λ sur l’horizontale, les composantes de P_a sont P_ah = P_a cos(δ + λ) et P_av = P_a sin(δ + λ).

Le cas particulier de Rankine

Pour un écran vertical retenant un massif horizontal avec une poussée normale à l’écran (β = δ = λ = 0), la formule se réduit à :

Cette valeur est aussi celle que donne la procédure de l’annexe C de la NF EN 1997-1 dans ce cas (ν = 0) : la feuille l’utilise comme vérification croisée des deux calculs.

Le contrôle par l’annexe C de l’Eurocode 7

L’annexe C de la NF EN 1997-1 donne une procédure analytique, formulée pour la butée avec des paramètres φ, δ positifs et appliquée à la poussée en prenant φ, δ négatifs (C.2 (2) et (3)). Pour un terrain sans cohésion et une surface libre non chargée, l’angle d’incidence β₀ vaut β, et la procédure enchaîne :

K_γ est le coefficient de la contrainte normale à l’écran due au poids du sol, σ = K_γ γ z. Pour le comparer à la formule de Coulomb, la feuille le ramène à une résultante inclinée de δ et rapportée à H² : K_a,éq = K_γ / (cos λ · cos δ). La procédure inclut des approximations du côté de la sécurité (NF P 94-281, 5.1.2.2 (3) NOTE 2). Pour un écran vertical et un talus horizontal, les deux calculs se comparent ainsi :

Les deux calculs coïncident pour δ = 0 ; la formule de Coulomb reste en dessous de l’annexe C de 0,5 % pour δ = φ’/3, de 2 % pour δ = 2/3 φ’ et de 5 à 6 % pour δ = φ’. C’est l’écart annoncé par la NF EN 1997-1, 9.5.3 (2), pour les surfaces de rupture planes aux fortes valeurs de φ’ et de δ. La feuille retient, pour les résultantes, la plus élevée des deux valeurs.

Sol cohérent

La feuille ne traite la cohésion que dans le cas de Rankine (écran vertical, terre-plein horizontal, interface lisse : λ = β = δ = 0) ; dans les autres cas, la procédure C.2 de l’annexe sépare les coefficients du poids et de la cohésion et intègre sur la face inclinée, et la feuille refuse le calcul. Pour un terrain de cohésion effective c’, l’expression (C.1) de l’annexe C donne la contrainte de poussée en l’absence d’eau et de surcharge :

La cohésion rend la contrainte négative en tête d’écran sur une hauteur h₀ = 2c’ / (γ √K_a). La NF P 94-281 (8.5.1 (7)) impose de s’assurer que le calcul ne conduit pas à des contraintes effectives de poussée négatives et, le cas échéant, d’annuler la contrainte calculée : seule la hauteur H’ = H − h₀ contribue à la résultante P_a‘ = p_a(H) H’/2, appliquée à H’/3 au-dessus du pied.

Pression des terres au repos

La NF P 94-281 (4.2 (2) NOTE 1) donne les mêmes relations et rappelle que K₀ dépend de l’histoire géologique du terrain et peut aussi être estimé par des essais en place. Dans le cas particulier de Rankine, K_a = (1 − sin φ’)/(1 + sin φ’) est toujours inférieur à K₀ = 1 − sin φ’ : un écran qui peut se déplacer est moins sollicité qu’un écran immobile.

Butée

Dans ce cas, la procédure de l’annexe C redonne exactement tan²(45° + φ’/2) (ν = 0), ce que la feuille vérifie. Le terme de poids est appliqué à D/3 au-dessus du pied, le terme de cohésion, constant sur la hauteur, à D/2. Compter sur ce supplément de butée suppose une cohésion durable, à justifier par la reconnaissance géotechnique.

Notations

3. Les étapes de la justification

• Données et domaine d’emploi : 10° ≤ φ’ ≤ 45°, 0 ≤ β ≤ φ’, 0 ≤ δ ≤ φ’, |λ| ≤ 30°, γ > 0, c’ ≥ 0, H > 0, D ≥ 0.
• K_a par la formule de Coulomb.
• Contrôle par la procédure de l’annexe C (m_t, m_w, ν, K_n, K_γ, K_a,éq) et valeur retenue, la plus élevée des deux ; si ν < 0, la procédure n’est pas applicable et la formule de Coulomb est donnée seule.
• Vérification par le cas particulier de Rankine, lorsque β = δ = λ = 0.
• Poussée active d’un sol pulvérulent : p_a(H), P_a et ses composantes P_ah, P_av.
• Poussée active d’un sol cohérent : hauteur h₀ annulée, hauteur H’, résultante P_a‘.
• Coefficient K₀, à titre de comparaison.
• Butée K_p dans le cas écran vertical, terrain horizontal et butée normale, contrôlée par l’annexe C, et résultante B_p sur la hauteur D.

Exemple traité par la feuille

Poussée. K_a = 0,3333 par la formule de Coulomb, par l’annexe C (m_t = m_w = 60°, ν = 0, K_n = 0,3333) et par Rankine. p_a(H) = 0,3333 × 18 × 3,00 = 18,00 kPa ; P_a = 0,3333 × 18 × 3,00²/2 = 27,00 kN/ml, horizontale, appliquée à 1,00 m au-dessus du pied.

Repos et butée. K₀ = 1 − sin 30° = 0,500, soit P₀ = 40,50 kN/ml si l’écran était immobile. K_p = tan²(60°) = 3,000, retrouvé par l’annexe C ; sur D = 1,00 m, p_p(D) = 54,00 kPa et B_p = 3,000 × 18 × 1,00²/2 = 27,00 kN/ml, à 0,33 m au-dessus du pied.

4. Ce qu’il faut retenir

• Dans le cas de Rankine, K_a = (1 − sin φ’)/(1 + sin φ’) est inférieur à K₀ = 1 − sin φ’, lui-même très inférieur à K_p = (1 + sin φ’)/(1 − sin φ’) : pour φ’ = 30°, 0,33, 0,50 et 3,00. Un écran qui peut légèrement se déplacer est moins sollicité qu’un écran immobile, et une butée ne se mobilise qu’au prix d’un déplacement important dont la pérennité doit être assurée (NF P 94-281, 4.2 (5)).
• La formule de Coulomb est admise pour la poussée (NF P 94-281, 5.1.2.2 (3) NOTE 3) ; elle s’écarte de l’annexe C de l’Eurocode 7 de 2 % pour δ = 2/3 φ’ et de 5 à 6 % pour δ = φ’, dans le sens défavorable. Pour la butée, une surface de rupture plane n’est pas du côté de la sécurité aux fortes valeurs de φ’ et de δ (NF EN 1997-1, 9.5.3 (2)) : les tables de Caquot, Kérisel et Absi s’imposent.
• Dès que l’écran est incliné (λ ≠ 0), les composantes de la poussée font intervenir δ + λ, et non δ seul.
• La cohésion réduit la poussée en tête d’écran jusqu’à la rendre négative : cette traction est annulée (NF P 94-281, 8.5.1 (7)) et seule la hauteur H’ contribue à la résultante. En butée, elle ajoute un terme constant 2c’√K_p, appliqué à mi-hauteur.
• La feuille ne traite ni l’eau, ni les surcharges, ni le compactage, ni le séisme : chacun de ces effets s’ajoute à la poussée du poids propre du massif.

5. Références

• NF EN 1997-1 (juin 2005) et amendement A1 (2014), Eurocode 7 : calcul géotechnique, partie 1 : règles générales, 9.5 et annexe C ; annexe nationale NF EN 1997-1/NA.
• NF P 94-281 (avril 2014), Justification des ouvrages géotechniques, normes d’application nationale de l’Eurocode 7, ouvrages de soutènement : murs ; 3.3, 4.2, 5.1.2, 8.5.1, annexe B.
• Kérisel J. et Absi E., Tables de poussée et de butée des terres, Presses de l’École nationale des ponts et chaussées, 3^e édition, 2003.

6. Feuille de calcul