Action du séisme sur un mur de soutènement : méthode de Mononobe-Okabe

Action du séisme sur un mur de soutènement : méthode de Mononobe-Okabe (Eurocode 8, RPS 2011 et règles PS 92)

Sous séisme, un mur de soutènement reçoit, en plus de la poussée statique habituelle des terres, un incrément de poussée dynamique dû aux accélérations horizontale et verticale du sol. L’Eurocode 8, le règlement parasismique marocain RPS 2011 et les anciennes règles PS 92 évaluent tous trois la force totale par la formule de Mononobe-Okabe, dans une analyse pseudo-statique. Cet article détaille les trois méthodes et leurs limites, puis les applique dans une feuille de calcul modifiable, avec un sélecteur de référentiel.

1. Le problème : une poussée des terres qui augmente sous séisme

Un mur dimensionné pour la seule poussée statique des terres peut se révéler insuffisant sous séisme. L’accélération horizontale accroît la poussée exercée par le massif retenu ; l’accélération verticale, selon son sens, l’augmente ou la diminue.

Il faut donc évaluer la force totale sous séisme, en isoler l’incrément dynamique et placer chaque part à son point d’application pour obtenir le moment à la base du mur.

2. Le mécanisme : deux coefficients sismiques, deux sens du séisme vertical

Les trois textes suivent le même principe : le poids du sol et les forces d’inertie sont composés en une résultante inclinée d’un angle θ sur la verticale, et la formule de Coulomb est appliquée à cette résultante. Ils diffèrent par les coefficients sismiques, les angles de frottement retenus et le point d’application de la poussée.

Eurocode 8 : coefficients sismiques (NF EN 1998-5, 7.3.2.2)

En l’absence d’études spécifiques, l’action sismique est représentée par des forces statiques égales aux forces gravitaires multipliées par un coefficient sismique :

Le facteur r traduit le déplacement permanent que le mur peut accepter (Tableau 7.1) :

• r = 2 : mur-poids libre pouvant accepter un déplacement jusqu’à d_r = 300 α S (mm) ;
• r = 1,5 : mur-poids libre pouvant accepter un déplacement jusqu’à d_r = 200 α S (mm) ;
• r = 1 : mur fléchi en béton armé, mur ancré ou contreventé, mur en béton armé fondé sur pieux verticaux, mur d’infrastructure encastré, culée de pont.

Les valeurs de a_gR, γ_I, S et a_vg ne sont pas fixées par l’Eurocode lui-même : l’annexe nationale française de NF EN 1998-1 les renvoie à l’Administration. La feuille les demande donc en données.

Eurocode 8 : angle θ et formule de Mononobe-Okabe (annexe E)

Pour un sol situé au-dessus de la nappe (E.5), la résultante du poids et des forces d’inertie est inclinée de l’angle θ :

L’expression (E.6) de E.5 est imprimée tan θ = k_h/(1 ∓ k_v), alors que (E.1) porte le facteur (1 ± k_v). La feuille associe à chaque facteur l’angle θ de même signe, comme les expressions (E.8) à (E.11) de la même annexe (g_A = g(1 + k_v)/cos θ_A). Sur l’exemple, l’association croisée donnerait E_d = 173,4 kN/m au lieu de 169,1 kN/m : la feuille affiche cette valeur pour information.

Le coefficient de poussée active (statique et dynamique) vaut, pour β ≤ φ’_d − θ :

La force totale de calcul, côté terrain, est alors :

Eurocode 8 : conditions d’emploi

• Domaine de (E.2) : β ≤ φ’_d − θ pour les deux valeurs de θ. Au-delà, la norme donne l’expression (E.3), que la feuille ne traite pas : elle affiche « méthode non applicable ».
• Frottement sol-mur : l’inclinaison de la poussée sur la normale au mur ne dépasse pas (2/3) φ’ à l’état actif (7.3.2.3(6)P).
• Mouvement du mur : l’état actif suppose un déplacement suffisant du mur (7.3.2.1(2)). Pour une structure rigide (mur d’infrastructure, mur-poids fondé sur rocher ou sur pieux), le sol reste au repos (7.3.2.1(3)) et l’incrément dynamique vaut ΔP_d = α S γ H² (E.19), pour un mur vertical et un remblai horizontal, appliqué à mi-hauteur (E.9).
• Hauteur : la feuille se limite aux murs d’au plus 10 m (7.3.2.2(4) et (6)).
• Séisme vertical ascendant : le cas B suppose 1 − k_v > 0 ; pour k_v ≥ 1, le poids apparent du sol s’annule et la feuille affiche « méthode non applicable ».
• Surcharge : le terre-plein est sans surcharge dans ce mode ; une surcharge saisie (q > 0) met le mur hors du champ de la feuille.

Eurocode 8 : incrément dynamique et point d’application

E_d est la résultante des poussées statique et dynamique (7.3.2.3(3)). En l’absence d’étude plus détaillée, la part dynamique est appliquée à mi-hauteur du mur (7.3.2.3(4)P) ; pour un mur qui peut tourner librement autour de sa base, elle peut être placée au même point que la part statique (7.3.2.3(5)).

Pour séparer les deux parts, la feuille calcule une poussée statique de référence P_s avec la même expression (E.2) prise pour θ = 0 (formule de Coulomb), les mêmes φ’_d et δ_d, puis ΔP_d = E_d − P_s. C’est une hypothèse de la feuille, pas une règle de la norme.

RPS 2011 : coefficients sismiques (9.4.1)

Le RPS pose d’abord un principe : les efforts sur les parois de soutènement « sont déterminés par toute méthode scientifiquement établie et validée par l’expérience. A défaut, les méthodes statiques simplifiées présentées ci-dessous peuvent être utilisées » (9.4.1). Ces méthodes appliquent des coefficients sismiques uniformes à l’ouvrage et au massif retenu, y compris les charges qu’il porte :

• t : coefficient de correction topographique du site au droit du mur, « pris égal à 1,2 » : le RPS le fixe, il n’est pas calculé.
• K : 1 en poussée active, 1,2 en poussée passive. La feuille calcule la poussée active : K = 1.
• a_n : accélération nominale. Le RPS ne la définit pas ailleurs ; la feuille la prend égale à l’accélération maximale du sol A_max de la zone (5.2.2), lue sur la figure 5.3 : 0,04 g, 0,07 g, 0,10 g, 0,14 g et 0,18 g pour les zones 0 à 4. La zone en accélération de chaque commune est donnée par l’annexe du RPS (Marrakech Médina : zone 3).
• Site : la formule de α_H de 9.4.1 ne comporte pas de coefficient de site.

RPS 2011 : poussée dynamique active (9.4.2.1)

Pour un terrain pulvérulent (c = 0), la poussée dynamique active est donnée par la méthode de Mononobe-Okabe :

Attention à la formule imprimée. Dans l’expression de K_ad du RPS, la racine porte sur « sin(φ + δ) − sin(φ − β − θ) » divisé par « sin(α − β) − sin(δ + α + θ) », et le crochet n’a pas d’exposant. Telle quelle, la formule n’est pas calculable (racine d’un nombre négatif dès que θ > 0). Ce sont des coquilles : la feuille applique la forme de Mononobe-Okabe ci-dessus, qui redonne exactement la formule de 10.2.2 des règles PS 92 pour α = δ = 0 et l’expression (E.2) de NF EN 1998-5 pour une face arrière inclinée de α.

• Décomposition : P_ad = P_a + ΔP_adyn, avec P_a appliquée à H/3 et ΔP_adyn à H/2 au-dessus de la base du mur. La feuille calcule P_a par la même expression avec α_H = α_V = 0 (hypothèse de la feuille).
• Surcharge uniforme q sur le terre-plein : P_ad = (q H / cos β) (1 ± α_V) K_ad, admise à mi-hauteur du mur.
• Domaine : l’expression exige φ − β − θ ≥ 0 ; au-delà, la feuille affiche « méthode non applicable ». Le RPS ne limite ni δ ni la hauteur du mur : la feuille borne δ à φ et H à 20 m (bornes de la feuille).
• Non traités : sols cohérents (9.4.2.2, méthode de Prakash, dont le RPS ne donne pas les coefficients), poussée passive, stabilité (9.4.3 : glissement avec un coefficient de sécurité de 1,2, poinçonnement avec 1,5).

Règles PS 92 : coefficients sismiques (10.1.3)

Les coefficients sismiques sont uniformes sur tout le massif retenu :

• a_N : accélération nominale, fixée par voie d’arrêté selon la zone de sismicité et la classe de l’ouvrage (3.3) ; la feuille la demande en donnée.
• K : coefficient compris entre 1 et 1,2 suivant qu’il s’agit de poussée active ou de poussée de terre au repos ; la feuille propose K = 1 (mur pouvant se déplacer) ou K = 1,2 (mur indéplaçable).
• τ : coefficient topographique (5.2.4), pour un mur en rebord de crête d’un relief de hauteur H ≥ 10 m dont le versant amont a une pente i ≤ 1/3 : τ = 1 si I − i ≤ 0,40 ; τ = 1 + 0,8 (I − i − 0,4) entre 0,40 et 0,90 ; τ = 1,40 au-delà. La feuille retient cette valeur de palier, sans la réduction linéaire des tronçons de raccordement (hypothèse du côté de la sécurité).

Règles PS 92 : poussée active dynamique globale (10.2.2)

• Angles : φ est utilisé directement, sans coefficient partiel.
• Domaine : l’expression exige φ − β − θ ≥ 0 ; au-delà, la feuille affiche « méthode non applicable ».
• Point d’application : à défaut de justification plus précise, la poussée dynamique globale s’exerce à mi-hauteur de la paroi (répartition uniforme). La feuille applique cette règle à P_ad : M = P_ad × H/2.
• Combinaison (8.1, figure 30) : la poussée statique P₁ figure dans G et l’augmentation dynamique P₂ dans E, avec γ_Q = 1. La feuille calcule P₁ par l’expression de 10.2.2 avec σ_h = σ_v = 0, puis P₂ = P_ad − P₁.
• Hauteur : les murs de soutènement isolés de hauteur au plus 6 m peuvent être justifiés par ces règles (10.5) ; les autres relèvent d’une norme spécifique.
• Mur indéplaçable (K = 1,2) : P₁ reste la poussée active ; la poussée statique au repos, qui figure alors dans G, n’est pas calculée par la feuille.
• Surcharge : la poussée due à une surcharge uniforme (10.2.4) n’est pas traitée dans ce mode ; une surcharge saisie (q > 0) met le mur hors du champ de la feuille.

Notations

3. Les étapes de la justification

Eurocode 8

• Coefficients sismiques k_h et k_v (7.3.2.2).
• Angles de calcul φ’_d et δ_d (γ_φ’ = 1,25).
• Angles θ_A et θ_B, pour les deux sens du séisme vertical (7.3.2.2(2)P).
• Domaine de l’expression (E.2) : β ≤ φ’_d − θ.
• Coefficients K et forces totales E_d des deux cas ; on retient la plus grande.
• Poussée statique de référence et incrément dynamique ΔP_d.
• Moment à la base : P_s à H/3, ΔP_d à H/2.

RPS 2011

• Coefficients sismiques α_H et α_V (9.4.1), à partir de la zone en accélération de la commune.
• Angles θ pour la force verticale descendante et ascendante (9.4.2.1).
• Domaine : β ≤ φ − θ.
• Poussées dynamiques actives des deux cas, surcharge comprise ; on retient la plus grande.
• Moment à la base : P_a à H/3, ΔP_adyn et poussée de la surcharge à H/2.

Règles PS 92

• Coefficients sismiques σ_h et σ_v (10.1.3), avec τ (5.2.4) pour un mur en rebord de crête.
• Angles θ pour la force verticale descendante et ascendante (10.2.2).
• Domaine : β ≤ φ − θ.
• Poussées actives dynamiques globales des deux cas ; on retient la plus grande.
• Moment à la base : P_ad à mi-hauteur ; décomposition en P₁ et P₂ pour la combinaison 8.1.

Exemple traité

Eurocode 8

Coefficients. α = 2,0/9,81 = 0,2039 ; k_h = 0,2039 × 1,2 / 2 = 0,1223 ; k_v = ± 0,0612. Déplacement admissible correspondant : d_r = 300 α S = 73 mm.

Angles. φ’_d = 24,79° ; θ_A = 6,58° ; θ_B = 7,42°. Domaine : φ’_d − β − θ_B = 17,37° ≥ 0.

Forces. K_A = 0,4920 et E_d,A = 169,1 kN/m ; K_B = 0,5043 et E_d,B = 153,4 kN/m. Le cas A (force d’inertie verticale vers le bas) gouverne.

Incrément et moment. K_s = 0,4091 et P_s = 132,6 kN/m, d’où ΔP_d = 36,6 kN/m. Moment à la base : M = 132,6 × 2,00 + 36,6 × 3,00 = 374,9 kN·m/m, soit une résultante à 2,22 m (0,37 H) au-dessus de la base.

RPS 2011

Coefficients. a_n = 0,14 × 9,81 = 1,373 m/s² ; α_H = 1 × 1,2 × 0,14 = 0,1680 ; α_V = ± 0,0504.

Angles. θ₁ = 9,09° (1 + α_V) ; θ₂ = 10,03° (1 − α_V). Domaine : φ − β − θ₂ = 19,97° ≥ 0.

Poussées. K_ad,1 = 0,4406 et P_ad,1 = 150,0 kN/m ; K_ad,2 = 0,4541 et P_ad,2 = 139,7 kN/m. Le cas 1 (force verticale descendante) gouverne.

Décomposition et moment. P_a = 108,0 kN/m (K_a = 0,3333) et ΔP_adyn = 42,0 kN/m. M = 108,0 × 2,00 + 42,0 × 3,00 = 341,9 kN·m/m.

Règles PS 92

Coefficients. σ_h = 1 × 1 × 2,0/9,81 = 0,2039 ; σ_v = ± 0,0612.

Angles. θ₁ = 10,88° (1 + σ_v) ; θ₂ = 12,25° (1 − σ_v). Domaine : φ − β − θ₂ = 17,75° ≥ 0.

Poussées. K_ad,1 = 0,4666 et P_ad,1 = 160,4 kN/m ; K_ad,2 = 0,4881 et P_ad,2 = 148,5 kN/m. Le cas 1 (force verticale descendante) gouverne.

Moment. M = 160,4 × 3,00 = 481,3 kN·m/m. Décomposition : P₁ = 108,0 kN/m (K_a = 0,3333) et P₂ = 52,4 kN/m.

4. Ce qu’il faut retenir

• E_d (Eurocode 8) comme P_ad (RPS 2011, PS 92) est la force totale (statique et dynamique) : l’ajouter à la poussée statique compterait deux fois la part statique.
• Les deux sens du séisme vertical doivent être calculés (7.3.2.2(2)P) : dans l’exemple, le cas A (force d’inertie verticale vers le bas) gouverne (169,1 kN/m contre 153,4 kN/m), ce qui n’est pas une règle générale.
• L’incrément dynamique est placé à mi-hauteur (7.3.2.3(4)P), plus haut que la poussée statique triangulaire (H/3) : son effet sur le moment est plus que proportionnel à son intensité.
• Les angles de calcul φ’_d et δ_d intègrent γ_φ’ = 1,25 : utiliser φ’_k directement dans (E.2) sous-estime la poussée.
• Quand β > φ’_d − θ (Eurocode 8) ou β > φ − θ (RPS 2011, PS 92), la formule ne s’applique plus : la feuille refuse alors de calculer.
• Avec le RPS 2011, t = 1,2 s’applique d’office et φ est utilisé sans coefficient partiel ; P_a est placée à H/3 et ΔP_adyn à H/2. La formule de K_ad imprimée au 9.4.2.1 comporte des coquilles : l’appliquer sous sa forme de Mononobe-Okabe.
• Pour un ouvrage existant calculé aux règles PS 92, les principales différences avec l’Eurocode 8 sont : pas de facteur r, φ sans coefficient partiel, δ = 0, poussée globale à mi-hauteur, murs isolés limités à 6 m.

5. Références

• NF EN 1998-5 (septembre 2005, 3^e tirage octobre 2013), Eurocode 8, partie 5 : fondations, ouvrages de soutènement et aspects géotechniques : 3.1(3) (coefficient γ_φ’), 7.3.2.1 (modèles de base), 7.3.2.2 (coefficients sismiques, Tableau 7.1), 7.3.2.3 (valeur de calcul et point d’application de la poussée), annexe E (E.1, E.4, E.5, E.9).
• NF EN 1998-5/NA (octobre 2007), annexe nationale : clause 3.1(3), valeurs recommandées retenues.
• NF EN 1998-1 : 3.2.1(3) (a_g = γ_I a_gR) ; NF EN 1998-1/NA : a_gR, γ_I, S et a_vg fixés par l’Administration française.
• NF EN 1997-1 : 9.5.2 (poussée des terres au repos, non calculée par la feuille).
• RPS 2000, version 2011, règlement de construction parasismique (Royaume du Maroc, ministère de l’Habitat et de la Politique de la ville), approuvé par le décret n° 2-02-177 du 22 février 2002, version 2011 approuvée par le décret n° 2-12-682 du 28 mai 2013 : 5.2.2 et figure 5.3 (zonage en accélération), 9.4.1 (coefficients sismiques), 9.4.2.1 (poussée dynamique active, terrains pulvérulents), 9.4.3 (stabilité), annexe (zones par commune).
• NF P 06-013 (décembre 1995), règles PS 92, amendements A1 (février 2001) et A2 (novembre 2004), ancien texte : 3.3 (a_N), 5.2.4 (coefficient topographique), 8.1 (combinaisons, figure 30), 10.1.3 (coefficients sismiques), 10.2.2 (poussée active dynamique), 10.5 (murs de soutènement isolés).

6. Feuille de calcul