Massif sur deux pieux sous charge centrée

Massif sur deux pieux sous charge centrée : exemple de calcul

Massif sur deux pieux : la charge du poteau se transmet aux pieux par deux bielles inclinées

Article NC-02-16-02-02 · Référentiels : BAEL 91 et Eurocode 2 (NF EN 1992-1-1 et annexe nationale), méthode des bielles du guide FD P18-717, conditions géométriques de la NF P 94-262 · Niveau : ingénieur structure

Une semelle sur deux pieux rapprochés n’est pas une poutre qui fléchit : elle transmet la charge du poteau aux pieux par deux bielles de béton comprimées, inclinées, dont la poussée horizontale est reprise par un tirant d’acier en partie basse. C’est le schéma de la console courte, retourné et dédoublé. La méthode des bielles, mise au point à partir des essais de Blévot et Frémy, est reprise par le guide d’application de l’Eurocode 2 (FD P18-717, 9.8.1) ; les Règles BAEL l’admettent pour les semelles sur pieux « en nombre limité » (B.9.3). Cet article la déroule pas à pas sur un exemple complet.

Avertissement : exemple de calcul à but pédagogique

Cette page présente un exemple de calcul destiné à l’apprentissage de la justification d’un massif sur deux pieux sous charge verticale centrée par la méthode des bielles. Elle ne constitue pas un outil de dimensionnement d’ouvrages réels : charge centrée sans moment ni effort horizontal, poteau carré en béton, pieux identiques, fissuration peu préjudiciable, portance et ferraillage des pieux, ancrage des barres et efforts parasites d’implantation non calculés.

NEOGENESIS décline toute responsabilité quant à l’utilisation de ces calculs dans des projets qui ne sont pas contrôlés par NEOGENESIS. Le seul moyen d’engager notre responsabilité est de faire valider ces calculs par nos ingénieurs dans le cadre d’une mission de contrôle technique.

1. Le problème : un massif sur pieux rapprochés n’est pas une semelle ordinaire

Lorsque l’entraxe des pieux est faible devant la hauteur de la semelle, le massif est trop trapu pour que la flexion s’y établisse. Le transfert de charge se fait directement, par deux bielles de compression courtes et inclinées reliant le pied du poteau à la tête de chaque pieu.

Les bielles poussent vers l’extérieur en tête des pieux : il faut un tirant horizontal en partie basse pour les « redresser ». C’est un modèle bielles et tirants au sens de l’Eurocode 2 (6.5), avec des hypothèses complémentaires et des limites d’emploi issues des essais (FD P18-717, 9.8.1).

La semelle de liaison est considérée comme un corps infiniment rigide si sa hauteur est au moins égale au plus grand entraxe divisé par 2,5 (NF P 94-262, 8.7.4).

2. Le mécanisme : géométrie des bielles, angle θ, et double vérification de compression

Inclinaison des bielles

Les bielles partent du pied du poteau, à a/4 de son axe, et aboutissent à l’axe des pieux, au niveau du tirant :

tg θ = d / (a’/2 − a/4)45° ≤ θ ; si θ > 55°, le calcul est mené avec θ = 55°

En deçà de 45° (semelle trop mince), la méthode ne s’applique pas : il faut augmenter la hauteur utile, d ≥ a’/2 − a/4.
Au-delà de 55° (semelle épaisse), l’inclinaison est bornée à 55° : la hauteur utile prise en compte est plafonnée à (a’/2 − a/4) tg 55°, le supplément de hauteur ne réduit plus le tirant.

Compression des bielles

La bielle prend appui sur la section du poteau et sur la section de chaque pieu. L’effort qui la traverse vaut N/(2 sin θ), et la facette d’appui horizontale, vue par la bielle, est réduite par sin θ : d’où une contrainte en N/(B sin²θ) :

N / (B sin²θ) ≤ 0,9 f_ck et N / (2 B₁ sin²θ) ≤ 0,9 f_ckB = a² section du poteau ; B₁ = π φ_p²/4 section d’un pieu

Les deux appuis n’ont ni la même section ni la même charge : il faut vérifier les deux. La feuille ajoute au droit des pieux le poids propre pondéré de la semelle, qui descend dans les pieux (hypothèse de la feuille, du côté de la sécurité).

Pour un pieu coulé en place sans tubage définitif, l’Eurocode 2 (2.3.4.2 (2)) prescrit un diamètre de calcul réduit : d_nom − 20 mm en deçà de 400 mm, 0,95 d_nom de 400 à 1 000 mm, d_nom − 50 mm au-delà. En mode Eurocode 2, la feuille applique d’office ce diamètre réduit au calcul de la section B₁ de la tête de pieu, du côté de la sécurité (cas le plus défavorable si la technologie des pieux n’est pas connue) ; le diamètre saisi reste le diamètre nominal, qui sert à l’implantation (entraxe, largeur et longueur de la semelle). Sur l’exemple, σ_pieu passe ainsi de 9,8 à 10,9 MPa en mode Eurocode 2.

Tirant inférieur

La décomposition de N entre les deux bielles donne une poussée horizontale N (a’ − a/2)/(4 d). Les essais ont conduit à la majorer de 15 % :

F = 1,15 N l_t (1 − a/(2 l_t)) / (4 d) ; A = F / f_ydl_t = a’ entraxe des pieux ; f_yd = f_yk/1,15 (BAEL : f_ed = f_e/1,15)

Les barres du tirant règnent sur toute la longueur de la semelle et sont ancrées au-delà des pieux, par crosses ou boucles (NF EN 1992-1-1, 9.8.1) : l’ancrage n’est pas calculé par la feuille.

Cisaillement et armatures complémentaires

Le guide impose une contrainte conventionnelle de cisaillement, des armatures en face supérieure et un quadrillage d’armatures réparties :

τ = N/(1,75 b₀ d) ≤ 1,75 f_ctm ; sinon, barres relevées à calculer (non traitées ici). En mode BAEL, la feuille remplace f_ctm par f_t28 = 0,6 + 0,06 f_c28, plus faible (hypothèse de la feuille, du côté de la sécurité).
Armatures supérieures : entre 1/8 et 1/5 de la section du tirant.
Armatures verticales et horizontales uniformément réparties : HA 10 tous les 12 cm pour des pieux chargés à l’état limite ultime jusqu’à 1,10 MN, section majorée au prorata de la charge par pieu au-delà.

Conditions d’implantation

Entraxe : distance de nu à nu entre pieux au moins égale à 0,75 fois la somme de leurs diamètres, soit a’ ≥ 2,5 φ_p pour deux pieux identiques (NF P 94-262, Q.3.4.1.3, prescription donnée pour les ponts et retenue ici comme hypothèse de la feuille).
Largeur de la semelle b₀ ≥ φ_p + 2 t, t étant la tolérance d’implantation des pieux (FD P18-717, 9.8.1) ; la feuille applique la même enveloppe à la longueur L ≥ a’ + φ_p + 2 t.
Tolérance d’implantation : 0,15 m au niveau de la plateforme d’exécution si la technologie des pieux n’est pas figée, sinon celle des normes d’exécution (NF P 94-262, R.2 (3)).

Notations

a	côté du poteau (section carrée)
a’ (l_t)	entraxe des deux pieux
φ_p, B₁	diamètre et section d’un pieu
b₀, L, h, d	largeur, longueur, hauteur totale et hauteur utile de la semelle
t	tolérance d’implantation des pieux
θ	inclinaison des bielles sur l’horizontale
N (N_u en BAEL, N_Ed en Eurocode)	charge du poteau à l’état limite ultime, 1,35 G + 1,5 Q
G_sem, N_p	poids propre de la semelle (25 kN/m³ × L b₀ h), charge par pieu (N + 1,35 G_sem)/2
F, A	effort de traction et section du tirant inférieur
A_s	armatures de la face supérieure

BAEL 91 et Eurocode 2 : ce qui change, ce qui ne change pas

1. Ce qui ne change pas

Les Règles BAEL admettent la méthode des bielles pour les semelles sur pieux (B.9.3) sans en donner les formules : la feuille applique, dans les deux modes, celles du FD P18-717 (9.8.1), issues des essais de Blévot et Frémy. La combinaison 1,35 G + 1,5 Q (BAEL B.9.2 ; NF EN 1990/NA, tableau A1.2(B)(NF)), γ_s = 1,15 (BAEL A.4.3,2 ; EC2 2.4.2.4), la limite 0,9 f_ck des bielles et les conditions géométriques de la NF P 94-262 sont communes.

2. La résistance en traction du béton

Le cisaillement conventionnel est comparé à 1,75 f_ctm (Tableau 3.1 : 0,30 f_ck^2/3 jusqu’à C50/60) en mode Eurocode, et à 1,75 f_t28 en mode BAEL : 4,49 MPa contre 3,68 MPa pour un béton de 25 MPa.

3. Les aciers

La feuille accepte f_e ou f_yk de 400 à 500 MPa dans les deux modes ; l’annexe nationale de l’Eurocode 2 n’admet 600 MPa qu’avec une justification à l’état limite de service (3.2.2 (3)P), que la feuille ne traite pas.

Le bouton en tête de la feuille bascule d’un référentiel à l’autre, les données restant les mêmes.

3. Les étapes de la méthode

Domaine de validité géométrique : entraxe, largeur et longueur de la semelle avec la tolérance d’implantation, rigidité de la semelle (h ≥ a’/2,5), hauteur utile minimale (θ ≥ 45°).
Sollicitation à l’état limite ultime, poids propre de la semelle, charge par pieu.
Inclinaison des bielles θ, bornée à 55°.
Compression des bielles au droit du poteau et au droit d’un pieu.
Tirant inférieur : effort F et section A.
Cisaillement conventionnel τ ≤ 1,75 f_ctm.
Armatures supérieures et réparties.

L’exemple traité

Poteau et pieux	a = 0,60 m ; φ_p = 0,70 m ; a’ = 1,75 m = 2,5 φ_p ; t = 0,15 m
Semelle	b₀ × L × h = 1,00 × 2,75 × 1,10 m ; d = 1,015 m
Charges	G = 2 300 kN, Q = 1 200 kN, d’où N = 4,905 MN ; G_sem = 75,6 kN ; N_p = 2,50 MN par pieu
Matériaux	f_c28 = f_ck = 25 MPa ; f_e = f_yk = 500 MPa

Domaine. a’ = 1,75 m ≥ 2,5 × 0,70 ; b₀ = 1,00 m ≥ 0,70 + 0,30 ; L = 2,75 m ≥ 1,75 + 0,70 + 0,30 ; h = 1,10 m ≥ 1,75/2,5 = 0,70 m ; d_min = 0,875 − 0,15 = 0,725 m ≤ 1,015 m. Le domaine est respecté.

Bielles. tg θ = 1,015/0,725 = 1,40, θ = 54,5°, sin²θ = 0,662. Compression au droit du poteau : 4,905/(0,36 × 0,662) = 20,6 MPa ≤ 22,5 MPa ; au droit d’un pieu : (4,905 + 0,102)/(2 × 0,385 × 0,662) = 9,8 MPa ≤ 22,5 MPa.

Tirant. F = 1,15 × 4,905 × 1,75 × (1 − 0,60/3,50)/(4 × 1,015) = 2,015 MN ; A = 2,015/434,8 = 46,3 cm². Armatures supérieures : 5,8 à 9,3 cm².

BAEL 91. τ = 4,905/(1,75 × 1,00 × 1,015) = 2,76 MPa ≤ 1,75 × 2,1 = 3,68 MPa. Armatures réparties : N_p = 2,50 MN, soit 2,28 fois 1,10 MN : 6,5 × 2,28 = 14,9 cm²/m dans chaque direction. Toutes les vérifications réalisées sont satisfaites.

Eurocode 2. Mêmes résultats, la seule différence portant sur la limite de cisaillement : 1,75 f_ctm = 1,75 × 2,56 = 4,49 MPa ≥ 2,76 MPa. Toutes les vérifications réalisées sont satisfaites.

4. Ce qu’il faut retenir

Un massif sur pieux rapprochés se justifie par un modèle bielles et tirants, pas par la flexion d’une semelle : appliquer les formules de semelle isolée conduirait à un ferraillage non pertinent.
Le coefficient 1,15 appliqué au tirant n’est pas un coefficient de sécurité arbitraire : il résulte des essais de Blévot et Frémy et traduit l’éclatement transversal du champ de compression des bielles.
L’angle des bielles est encadré : au moins 45°, et borné à 55° dans le calcul. Épaissir la semelle au-delà de 55° ne réduit plus le tirant.
Les deux vérifications de compression (poteau, pieu) sont indépendantes : ne jamais se contenter de la plus intuitive.
La géométrie se vérifie avant tout calcul : entraxe, enveloppe des pieux avec leur tolérance d’implantation, rigidité de la semelle. Une géométrie hors domaine invalide la méthode, quel que soit le résultat numérique des étapes suivantes.

5. Références

FD P18-717 (guide d’application de la NF EN 1992-1-1 et de son annexe nationale) : 6.5.4 (semelles sur pieux, méthodes de calcul), 9.8.1 (semelles en tête de pieux, méthode simplifiée des bielles et tirants, cas de 2 pieux).
NF EN 1992-1-1 (Eurocode 2) et annexe nationale : 2.4.2.4 (coefficients partiels), Tableau 3.1 (f_ctm), 3.2.2 (3)P (limite de f_yk), 6.5 (modèles bielles et tirants), 9.8.1 (semelles en tête de pieux).
Règles BAEL 91 révisées 99 (DTU P 18-702) : A.2.1,12 (f_tj), A.4.3,2 (γ_s), B.9.2 (combinaison 1,35 G + 1,5 Q_B), B.9.3 (méthode des bielles admise pour les semelles sur pieux).
NF P 94-262 (fondations profondes) : 8.7.4 (rigidité de la semelle de liaison), annexe Q.3.4.1.3 (distance entre axes des pieux), annexe R (tolérances d’exécution, R.2 (3)).
NF EN 1990 et annexe nationale : tableau A1.2(B)(NF). NF EN 1991-1-1 : tableau A.1 (poids volumique du béton armé).
J. Blévot et R. Frémy, « Semelles sur pieux : méthodes de calcul, compte rendu d’essais, dispositions constructives », Annales de l’ITBTP, février 1967, n° 120 (article cité par le FD P18-717).

NEOPEDIA · en pratique

Nos ingénieurs recommandent de vérifier systématiquement le domaine de validité géométrique du modèle bielles et tirants (entraxe, enveloppe des pieux avec leur tolérance d’implantation, hauteur de la semelle) avant tout calcul de massif sur pieux : une géométrie hors domaine invalide l’ensemble de la méthode, indépendamment du résultat numérique des vérifications suivantes.

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