Escalier à paillasse porteuse droite

Escalier à paillasse porteuse droite : dimensionner le ferraillage d’une volée

Méthode : poutre isostatique équivalente (BAEL 91 et Eurocode 2) · Niveau : jeune ingénieur structure

Une volée d’escalier droite, portant d’un palier à l’autre sans poutre ni limon porteur, se calcule comme une dalle inclinée en flexion simple : on la « déplie » en une poutre isostatique de portée horizontale, chargée par le poids propre réel de la paillasse et des marches, puis on compare la section d’acier obtenue au ferraillage réellement disposé sur la largeur de la volée. Cet article détaille cette méthode pas à pas, avec un palier de chaque côté, sur un exemple chiffré complet.

Avertissement : exemple de calcul à but pédagogique

Cette page présente un exemple de calcul destiné à l’apprentissage de la justification élémentaire des éléments de structure. Elle ne constitue pas un outil de dimensionnement d’ouvrages réels : la volée et ses deux paliers d’about sont supposés former une seule poutre simplement appuyée sous les bords extérieurs des paliers (murs ou poutres), sans continuité, sans limon ni poutre palière à la jonction volée/palier, et les résultats ne sont pas vérifiés pour un projet donné. Les vérifications de contrainte à l’état limite de service (béton comprimé, ouverture des fissures), de flèche, d’espacement des barres et de longueurs d’ancrage ne sont pas traitées ; la synthèse de la feuille les rappelle.

NEOGENESIS décline toute responsabilité quant à l’utilisation de ces calculs dans des projets qui ne sont pas contrôlés par NEOGENESIS. Le seul moyen d’engager notre responsabilité est de faire valider ces calculs par nos ingénieurs dans le cadre d’une mission de contrôle technique.

1. Le problème : une paillasse inclinée porte comme une poutre, mais pèse plus qu’une dalle plane

Une paillasse porteuse (la dalle inclinée qui supporte les marches) travaille en flexion simple, comme une dalle pleine sur appuis simples portant dans une seule direction.

Sans limon ni appui latéral, ses deux bords longitudinaux sont libres : c’est une poutre-dalle au sens du BAEL 91 (article A.5.2,1 : deux bords libres distants d’au moins trois fois l’épaisseur) et une dalle portant dans une direction au sens de l’Eurocode 2 (§5.3.1 (4) et (5), §9.3 (1) : largeur et portée au moins égales à cinq fois l’épaisseur, deux bords libres parallèles). En BAEL, une portée au plus égale à deux fois l’épaisseur ferait de l’élément une paroi fléchie (annexe E.5, E.5.0). La feuille refuse de calculer hors de ces domaines, ainsi que les ferraillages qui ne tiennent pas dans la section (barres plus nombreuses que la largeur ne le permet, lit inférieur et chapeaux qui ne tiennent pas ensemble dans l’épaisseur sur appui).

Deux difficultés propres aux escaliers viennent s’ajouter au calcul ordinaire d’une dalle :

le poids propre réel (paillasse inclinée + marches triangulaires + revêtement) est supérieur à celui d’une dalle plane de même épaisseur, car le béton suit la pente ;
les charges du palier, plus large que la volée, doivent être ramenées à la largeur de calcul de la volée pour bâtir une poutre équivalente unique et cohérente sur toute la longueur.

2. Le mécanisme : déplier la volée en poutre horizontale, puis compter les barres sur la largeur

Portée horizontale totale

On calcule les charges, le moment et l’effort tranchant sur la portée horizontale totale, comme pour une poutre-dalle isostatique ordinaire de largeur 1 m :

l = l₁ + l_x + l₂palier d’about + projection horizontale de la volée + palier d’about

Les appuis supposés sont deux appuis simples situés sous les bords extérieurs des paliers (murs ou poutres), comme sur la figure 1. Les paliers d’about portent dans le sens de la volée : ils font partie de la poutre de portée l, et ne sont pas des appuis de la volée.

Ce choix n’est pas anodin : le moment varie comme le carré de la portée. Si la volée était réellement appuyée à ses jonctions avec les paliers (poutres palières), la portée serait l_x et le moment environ cinq fois plus faible dans l’exemple ; la feuille ne traite pas ce cas.

Coefficient de pente

k = l_rampant/l_x = √(1 + (h_m/g_m)²)la paillasse est parallèle à la ligne des nez de marche, de pente h_m/g_m

La longueur rampante n’est donc pas une donnée : la feuille la calcule à partir de la hauteur de marche h_m et du giron g_m.

Le coefficient k intervient une seule fois, sur le poids propre : l’épaisseur e_p de la paillasse est mesurée perpendiculairement à la pente, alors que la charge est rapportée à la projection horizontale.

Il n’intervient pas dans le calcul des aciers.

Section d’acier sur la largeur de la volée

La section d’acier obtenue est une section par mètre linéaire de largeur.

Pour la comparer au ferraillage du plan, on la multiplie par la largeur b_v de la volée, et on la confronte au nombre de barres réellement disposées en fond de paillasse sur cette largeur.

3. Les étapes de la justification

Charges de la volée (paillasse inclinée + marches + revêtement) et du palier (dalle plane + revêtement), à l’état limite ultime.
Charge de calcul unique, en ramenant la charge du palier (plus large) à la largeur effective de la volée, puis en retenant l’enveloppe la plus défavorable sur toute la portée.
Sollicitations M_u et V_u sur la poutre isostatique équivalente de portée horizontale totale, et moment le plus élevé repris par un palier (à la jonction palier/volée, ou à mi-portée si celle-ci tombe dans un palier).
Ferraillage longitudinal en flexion simple, chaque section avec sa propre hauteur utile (paillasse, palier, chapeaux), puis passage de la section par mètre linéaire à la section sur la largeur de la volée.
Vérifications complémentaires : condition de non-fragilité, armatures de répartition, effort tranchant, armatures en chapeau sur appui.

Fig. 1 : coupe longitudinale de l’escalier et appuis supposés (appuis simples sous les bords extérieurs des paliers). l₁, l₂ : paliers d’about ; l_x : projection horizontale de la volée ; l_rampant : longueur réelle de la paillasse sur la pente.

Notations

l₁, l₂	longueurs des paliers d’about, de part et d’autre de la volée
l_x	projection horizontale de la volée d’escalier
l_rampant	longueur réelle de la paillasse mesurée sur la pente, calculée = k l_x
k	coefficient de pente = l_rampant/l_x = √(1 + (h_m/g_m)²)
e_p	épaisseur de la paillasse, mesurée perpendiculairement à la pente
h_m	hauteur d’une marche (contremarche)
g_m	giron (profondeur d’une marche) ; 0,28 m dans l’exemple, soit 7 girons sur l_x = 1,96 m
e_r	épaisseur du revêtement de marche
e_pal	épaisseur de la dalle du palier
L_pal	largeur du palier (3,00 m dans l’exemple)
n_v, L_vol	nombre de volées qui reçoivent la charge du palier et leur largeur cumulée, calculée L_vol = n_v b_v (2 × 1,20 = 2,40 m dans l’exemple) ; à ne pas confondre avec b_v, largeur d’une seule volée
c	enrobage des armatures
d_v, d_pal, d_ch	hauteurs utiles de la paillasse, des aciers inférieurs du palier et des chapeaux, calculées d = e − c − φ/2 avec l’épaisseur et le diamètre de chaque élément
g, q	charges permanente et d’exploitation par unité de surface
M_u, V_u	moment fléchissant et effort tranchant de calcul sur la poutre équivalente
b_v	largeur de la volée (1,20 m dans l’exemple : deux volées de 1,20 m séparées par un jour de 0,60 m sur une trémie de 3,00 m)
A	section d’aciers longitudinaux, par mètre linéaire puis rapportée à la largeur de la volée
p_u	charge ultime de calcul par unité de surface, 1,35 g + 1,5 q
μ, z	moment réduit et bras de levier de la section
γ_béton, γ_revêt.	poids volumiques du béton armé (25 kN/m³) et du revêtement (20 kN/m³)

BAEL 91 et Eurocode 2 : une méthode d’analyse commune, des vérifications de section différentes

Le principe de la poutre isostatique équivalente et la prise en compte de la pente dans le poids propre ne dépendent d’aucun référentiel de calcul des sections : c’est une méthode d’analyse structurale.

La combinaison ELU 1,35 G + 1,5 Q est la même dans les deux cas (BAEL A.3.3,21 ; NF EN 1990 et son annexe nationale, expression 6.10 et tableau A1.2(B)(NF)).

Ce qui change entre BAEL 91 et Eurocode 2, c’est la vérification de la section une fois M_u et V_u connus.

1. Résistances et bras de levier

Résistance de calcul du béton : f_bu = 0,85 f_c28/1,5 en BAEL, f_cd = f_ck/1,5 en EC2 (α_cc = 1 selon l’annexe nationale française) ; celle des aciers vaut f_e/1,15 dans les deux cas.
Bras de levier : dans les deux référentiels, z = d (1 + √(1 − 2μ))/2, issu du diagramme rectangulaire (BAEL A.4.3,42 : hauteur 0,8 y_u ; EC2 §3.1.7 (3) : λ = 0,8 et η = 1 jusqu’à C50/60).
Dans les deux référentiels, la feuille s’arrête au moment réduit limite sans aciers comprimés (0,372 pour des aciers de limite 500 MPa).

2. Sections minimales et armatures de répartition

Section minimale : en BAEL, la plus grande de la règle du millième des poutres (B.6.4 : b h/1000), du taux minimal des dalles (B.7.4 : 1,5 ρ₀ b h au plus pour une dalle portant dans un seul sens, ρ₀ = 0,0006 en Fe E 500) et de la condition de non-fragilité (A.4.2,1 : 0,23 b d f_t28/f_e) ; en EC2, 0,26 f_ctm/f_yk b d, l’annexe nationale française écartant la borne 0,0013 b d.
Armatures de répartition : un quart des aciers principaux en BAEL (A.8.2,41, écrit pour les dalles et appliqué par analogie à la poutre-dalle), avec au moins ρ₀ b h (B.7.4) ; 20 % en EC2 (§9.3.1.1 (2)).

3. Effort tranchant et appuis

Effort tranchant : contrainte tangente limite forfaitaire 0,07 f_c28/γ_b en BAEL pour une pièce bétonnée sans reprise sur toute son épaisseur (A.5.2,2), résistance v_Rd,c dépendant du taux d’armature en EC2 (§6.2.2), avec la valeur minimale des poutres pour une volée d’escalier (FD P 18-717, 6.2.1 (4)).
Ancrage des aciers inférieurs sur appui : V_u γ_s/f_e en BAEL (A.5.1,312), V_Ed a_l/z avec a_l = d en EC2 (§9.2.1.4 (2) et §9.3.1.1 (4)). Le remplacement de a_l/z par cot θ′ prévu par l’annexe nationale française (9.2.1.4 (2), expression 9.101NF) vise les éléments avec armatures d’effort tranchant, a_l étant alors donné par l’expression 9.2 : il ne s’applique pas à la volée, dalle sans armatures d’effort tranchant.
Chapeaux sur appui : équilibrant forfaitairement 0,15 M_u en BAEL (A.8.2,43, appliqué par analogie à la poutre-dalle) ; en EC2, 25 % du moment de travée en règle générale, réduits à 15 % sur un appui d’extrémité (§9.3.1.2 (2)), ce qui est le cas des deux appuis de la poutre équivalente.

Sur un appui sans palier (l₁ ou l₂ nul), la section d’appui est celle de la paillasse : effort tranchant, aciers inférieurs et chapeaux y sont justifiés avec la hauteur utile de la paillasse.

L’exemple retient des chapeaux 5 HA 8 au mètre linéaire (2,51 cm²/ml), pour 0,71 cm²/ml exigés dans les deux référentiels (0,15 M_u repris avec la hauteur utile des chapeaux dans le palier).

4. Ce qu’il faut retenir

Le poids propre d’une paillasse n’est pas celui d’une dalle plane de même épaisseur : il faut ajouter le poids des marches (triangle plein, la moitié de leur hauteur) et corriger l’épaisseur de la paillasse elle-même de l’allongement dû à la pente.
Le coefficient de pente k = l_rampant/l_x = √(1 + (h_m/g_m)²) se calcule à partir des marches et ne concerne que le poids propre de la paillasse. Il ne majore pas les sections d’acier : la section calculée en flexion simple est une section par mètre linéaire de largeur, qu’il faut multiplier par la largeur b_v de la volée pour la comparer au nombre de barres du plan de ferraillage.
Quand un palier plus large que les volées qui le portent participe à la même poutre équivalente, sa charge doit être ramenée à la largeur cumulée de ces volées (L_vol = n_v b_v) avant de bâtir une charge de calcul unique et enveloppe sur toute la portée.
Les armatures en chapeau sur appui doivent équilibrer forfaitairement 0,15 M_u, avec la hauteur utile des chapeaux dans le palier ; distinctement, les aciers inférieurs prolongés sur appui doivent ancrer l’effort tranchant (A ≥ V_u γ_s/f_e). Ces deux vérifications sont chiffrées dans l’exemple traité ici. En Eurocode 2, la part de moment sur appui d’une dalle est de 25 % en règle générale, réduite à 15 % sur un appui d’extrémité (§9.3.1.2 (2)).

5. Références

Règles BAEL 91 révisées 99 (DTU P 18-702) : article A.3.3,21 (combinaisons fondamentales), chapitre A.4 (état limite ultime sous sollicitations normales, dont A.4.3,42 pour le diagramme rectangulaire), article A.4.2,1 (condition de non-fragilité), articles A.5.1,312 (appui simple d’about), A.5.2,1 et A.5.2,2 (dalles et poutres-dalles sans armatures d’effort tranchant), articles A.8.2,41 et A.8.2,43 (dalles : répartition, chapeaux), article B.6.4 (règle du millième des poutres), article B.7.4 (section minimale des dalles), annexe E.5, E.5.0 (définition des parois fléchies).
NF EN 1992-1-1 (Eurocode 2) et son annexe nationale française : §3.1.6 (résistance de calcul du béton), §3.1.7 (diagramme rectangulaire), §5.3.1 (définition des dalles), §6.1 (flexion), §6.2.2 (effort tranchant sans armatures), §9.2.1.1 (section minimale d’armatures de flexion), §9.2.1.4 (ancrage des armatures inférieures sur appui d’extrémité), §9.3.1.1 et §9.3.1.2 (dalles : armatures secondaires, armatures sur appui).
NF EN 1990 et son annexe nationale (tableau A1.2(B)(NF)) ; NF EN 1991-1-1, tableau A.1 (poids volumique du béton armé) ; FD P 18-717, 6.2.1 (4) (volées d’escalier) et 9.3.1.2 (2).

NEOPEDIA · en pratique

Sur les escaliers en paillasse, nos ingénieurs vérifient systématiquement l’hypothèse d’appui simple retenue par la méthode simplifiée (absence réelle de continuité avec le palier ou de limon porteur), et s’assurent que le nombre de barres du plan couvre bien la section calculée sur la largeur réelle de la volée, une confusion entre section par mètre linéaire et section sur la largeur de la volée étant vite arrivée quand la largeur vaut 1,20 m.

Découvrir nos missions de contrôle technique

6. Feuille de calcul