Poutre continue : calcul des sollicitations, exemple
Poutre continue de plancher : la méthode forfaitaire, du panneau de dalle jusqu’aux cadres d’effort tranchant
Dimensionner une poutre continue de plancher courant ne se limite pas à calculer un moment fléchissant : il faut d’abord ramener la charge trapézoïdale réellement transmise par la dalle à une charge linéique équivalente, vérifier que la méthode forfaitaire est bien applicable, répartir le moment entre travée et appuis selon les inégalités forfaitaires, puis justifier la résistance à l’effort tranchant. Un point demande de l’attention : la largeur de report utilisée pour le moment ne conserve pas la charge totale, qui sert à l’effort tranchant. La feuille de calcul traite le cas selon le BAEL et selon l’Eurocode 2.
Avertissement : exemple de calcul à but pédagogique
Cette page présente un exemple de calcul destiné à l’apprentissage de la méthode forfaitaire de calcul des sollicitations d’une poutre continue de plancher. Elle ne constitue pas un outil de dimensionnement d’ouvrages réels : la géométrie du plancher (portées, entraxe des poutres) et les sections d’acier retenues sont propres à l’exemple traité. L’exemple reprend un plancher de bureaux courant (travée de rive de 7,60 m, travée voisine de 6,50 m, dalle de 15 cm, poutres à 4,80 m d’entraxe) ; la section de la poutre (30 × 55 cm) et ses aciers ont été choisis pour satisfaire les vérifications des deux référentiels, y compris la condition de ductilité que l’Eurocode 2 attache à la méthode forfaitaire. Le périmètre de la feuille se limite à la travée de rive et à son premier appui intermédiaire, pour une dalle portant sur quatre côtés : les vérifications de service (contraintes, ouverture des fissures, flèche), les ancrages, la justification des zones d’appui et la section sur l’appui de rive ne sont pas traités, et le verdict de la feuille ne porte que sur les contrôles qu’elle effectue. Le domaine des matériaux est borné : fc28 ≤ 40 MPa en BAEL (au-delà, l’annexe F des règles, relative aux bétons à hautes performances, modifie les règles appliquées) ; en Eurocode 2, bétons de C12/15 à C50/60 et fyk de 400 à 500 MPa (annexe nationale, 3.2.2 (3)P : 600 MPa seulement avec une justification à l’ELS que la feuille ne fait pas). En BAEL, la fissuration est supposée peu préjudiciable et les aciers sont des aciers à haute adhérence Fe E 400 ou Fe E 500 (fe de 400 à 500 MPa). L’élément doit enfin être une poutre au sens des règles : hauteur inférieure à la moitié de la portée en BAEL (au-delà, paroi fléchie, annexe E.5.0), portée au moins égale à trois fois la hauteur en Eurocode 2 (5.3.1 (3), sinon poutre-cloison) ; la feuille refuse de calculer hors de ce domaine.
NEOGENESIS décline toute responsabilité quant à l’utilisation de ces calculs dans des projets qui ne sont pas contrôlés par NEOGENESIS. Le seul moyen d’engager notre responsabilité est de faire valider ces calculs par nos ingénieurs dans le cadre d’une mission de contrôle technique.
1. Le problème : une charge de dalle trapézoïdale, une poutre linéique
La répartition de la charge sur une poutre de plancher dépend du système porteur. Dans le cas traité ici, une dalle portant sur ses quatre côtés, la poutre reçoit de chaque panneau voisin une charge trapézoïdale (lignes de rupture à 45° partant des angles du panneau), dont la forme dépend du rapport entre les portées du panneau dans les deux directions. Une dalle portant dans un seul sens, ou des poutrelles, conduiraient à une autre répartition, que cette page ne traite pas.
Pour le calcul du moment, on remplace cette charge trapézoïdale par une charge linéique uniforme qui donne le même moment à mi-travée, portée sur une largeur fictive λ’.
Cette équivalence ne vaut que pour le moment fléchissant : pour l’effort tranchant, qui dépend de la charge totale réellement portée, il faut repartir de la surface de plancher réellement reportée sur la poutre.
2. Le mécanisme : méthode forfaitaire, moment résistant, effort tranchant
Méthode forfaitaire
Une fois les charges linéiques déterminées, la méthode forfaitaire dispense d’une analyse complète de la poutre continue. Elle impose de vérifier :
- que la somme du moment résistant en travée et de la demi-somme des moments résistants sur appuis couvre le moment isostatique majoré par le plus grand des coefficients (1+0,3α) et 1,05, α étant la part relative de la charge d’exploitation ;
- que le moment en travée et les moments sur appuis intermédiaires respectent chacun un minimum forfaitaire.
Ces inégalités sont les mêmes dans l’annexe E.1 du BAEL et dans le guide d’application de l’Eurocode 2 (FD P18-717). Ce guide précise toutefois qu’en Eurocode 2 la méthode relève du prédimensionnement et de la vérification d’ouvrages, et non du dimensionnement.
En Eurocode 2, la méthode est rangée parmi les méthodes d’analyse plastique : la ductilité des sections critiques doit être assurée, ce que la feuille vérifie par les conditions de la clause 5.6.2 (2) (xu/d ≤ 0,25 et aciers de classe B ou C).
Effort tranchant
La justification à l’effort tranchant se fait à l’appui le plus sollicité, le premier appui intermédiaire, avec une majoration forfaitaire qui tient compte de la continuité.
Les deux référentiels autorisent une réduction de l’effort tranchant au voisinage immédiat de l’appui (charges à moins de h/2 de l’appui en BAEL, vérification à une distance d du nu d’appui en Eurocode 2) : une partie des charges proches de l’appui rejoint celui-ci directement par une bielle de béton.
Notations
| a, λx, λ’, αx | entraxe des poutres, petit côté libre du panneau de dalle λx = a − b0, largeur équivalente de report de charge (pour le moment), rapport αx = λx/l |
| l, l2 | portées libres (entre nus) de la travée de rive étudiée et de la travée voisine |
| g, p, pu | charges linéiques permanente, d’exploitation, pondérée |
| M0 | moment isostatique de référence de la travée |
| α | part relative de la charge d’exploitation, α = p/(g+p) |
| Mt, Mw, Me | moments résistants en travée, sur l’appui de gauche (rive), sur l’appui de droite (intermédiaire) |
| ρ, αl | hauteur relative du bloc comprimé ρ = 0,8x/d, limite de plastification des aciers αl = 3,5/(3,5+1000fed/Es) sur x/d |
| S, Pu, V0 | surface de plancher reportée sur la poutre S = λx(l − λx/2) + b0l, charge totale pondérée, effort tranchant isostatique |
| τu, At, Asw | contrainte tangente conventionnelle (BAEL), section d’armatures transversales (BAEL, Eurocode 2) |
Pourquoi λ’ (pour le moment) diffère-t-il de S (pour l’effort tranchant) ?
La largeur équivalente λ’ est calibrée pour reproduire, au milieu de la travée, le moment fléchissant que produit la charge trapézoïdale réelle : elle ne conserve donc pas la charge totale.
Comme la charge trapézoïdale est concentrée vers le milieu de la travée, λ’ est plus grande que la largeur qui conserverait la charge totale. Sur l’exemple (λx = 4,80 − 0,30 = 4,50 m) :
La surface S, en revanche, conserve exactement le poids total porté par la travée : c’est elle qu’il faut utiliser pour l’effort tranchant.
Confondre les deux notions conduit à une erreur dans un sens ou dans l’autre :
- calculer le moment avec la charge totale réelle sous-estime le moment de calcul ;
- calculer l’effort tranchant avec λ’ le surestime (sécuritaire, mais non économique).
3. Les étapes de la méthode
- Panneau de dalle, charges surfaciques et largeur équivalente de report de la charge trapézoïdale (λx, λ’ et S calculés à partir de l’entraxe et des portées).
- Charges linéiques et moment isostatique de référence M0, sur la portée libre.
- Conditions chiffrées d’application de la méthode forfaitaire (charge d’exploitation modérée, rapport des portées successives compris entre 0,8 et 1,25).
- Moment résistant sur appui, avec contrôle de la plastification des aciers et, en Eurocode 2, de la ductilité (xu/d ≤ 0,25, aciers de classe B ou C).
- Moment résistant en travée (table de compression) et vérification globale de la méthode forfaitaire (Mt+(Mw+Me)/2 ≥ max(1+0,3α ; 1,05)M0, et minima forfaitaires en travée et sur appui intermédiaire).
- Effort tranchant au premier appui intermédiaire (charge totale réelle, et non la largeur équivalente, majorée de 15 % pour une poutre à deux travées ou de 10 % au-delà).
- Résistance du béton de l’âme : en BAEL, τu ≤ min(0,20 fc28/γb ; 5 MPa) ; en Eurocode 2, VEd ≤ VRd,max.
- Armatures transversales, avec réduction de l’effort tranchant au voisinage de l’appui, section minimale, espacement maximal et, en BAEL, diamètre maximal (A.7.2,2).
- Section minimale d’armatures longitudinales (non-fragilité : 0,001 de la section droite en BAEL, moment de fissuration en Eurocode 2) et, en Eurocode 2, section maximale 0,04Ac.
4. Ce qu’il faut retenir
- La largeur équivalente λ’ (pour le moment) et la surface S reportée sur la poutre (pour l’effort tranchant) répondent à deux besoins différents : ne pas les utiliser l’une pour l’autre.
- Deux des quatre conditions d’application de la méthode forfaitaire sont chiffrées et testées à l’étape 3 : la charge d’exploitation modérée et le rapport des portées successives compris entre 0,8 et 1,25. Le BAEL (B.2.1) écrit « au plus égales à deux fois celles des charges permanentes ou à 5 000 N/m² » ; le guide d’application de l’Eurocode 2 écrit « inférieure ou égale à deux fois la charge permanente et à 5 kN/m² ». Les deux autres conditions (moments d’inertie des sections transversales identiques dans les différentes travées ; fissuration ne compromettant pas la tenue du béton armé ni celle de ses revêtements) relèvent d’un constat de l’ingénieur.
- La méthode forfaitaire ne donne pas directement les moments : elle fixe un cadre pour les répartir, et ses inégalités sur les moments résistants doivent être vérifiées.
- En Eurocode 2, la condition xu/d ≤ 0,25 limite la section d’acier sur appui : une section trop armée sur appui n’est pas acceptée par la feuille même si elle résiste : sa capacité de rotation serait à justifier (5.6.3), ce que la feuille ne fait pas.
- La réduction de l’effort tranchant au voisinage de l’appui se calcule avec la charge réellement appliquée près de l’appui : pour une charge trapézoïdale, elle est plus faible que la charge moyenne de la travée. En BAEL, les zones d’appui elles-mêmes (A.5.1,3) se justifient sans cette réduction.
- Retenir un moment résistant nul sur un appui de rive dans la vérification globale est du côté de la sécurité pour la travée. L’Eurocode 2 demande néanmoins de dimensionner la section sur un appui de rive monolithique pour au moins 0,15 fois le moment maximal en travée (9.2.1.2 (1)), disposition constructive destinée à limiter la fissuration ; en BAEL, si un moment d’encastrement est pris en compte sur l’appui de rive, la résistance de cet appui doit être justifiée (annexe E.1.2).
5. Références
- Règles BAEL 91 modifiées 99 : constructions courantes (B.2.1), transmission des charges et majoration des réactions (B.6.2,11), domaine d’application de la méthode forfaitaire (B.6.2,210), valeurs des coefficients (annexe E.1.2), largeur des tables de compression (A.4.1,3), effort tranchant (A.5.1), diamètre des armatures d’âme (A.7.2,2), non-fragilité des planchers (B.6.4), crochets des barres à haute adhérence Fe E 400 ou Fe E 500 (A.6.1,253), parois fléchies (B.6.8,1 et annexe E.5.0), bétons à hautes performances (annexe F).
- NF EN 1992-1-1 et son annexe nationale : résistances de calcul (3.1.6, 3.1.7), définition des poutres (5.3.1 (3)), largeur participante (5.3.2.1), analyse plastique (5.6.1 et 5.6.2), effort tranchant (6.2.1 et 6.2.3), dispositions des poutres (9.2.1.1, 9.2.1.2 et 9.2.2), domaine des aciers (3.2.2 (3)P).
- FD P18-717, guide d’application de la NF EN 1992-1-1 : planchers à charge d’exploitation modérée (5.1.3 (1)P NOTE) et méthodes d’analyse plastique des poutrelles et poutres (5.6.1 (3)P NOTE).
- Recommandations professionnelles FFB pour l’application de la NF EN 1992-1-1 (clauses 5.1.3 (1)P et 5.6.1 (3)P).
NEOPEDIA · en pratique
Nos ingénieurs recommandent de toujours vérifier, avant d’appliquer la méthode forfaitaire, que ses quatre conditions d’application sont réellement satisfaites sur le cas traité : une charge d’exploitation hors du domaine des charges modérées, des portées trop dissemblables, des inerties différentes d’une travée à l’autre ou une fissuration qui compromet la tenue du béton armé ou de ses revêtements imposent de revenir à une méthode de calcul plus générale (méthode de Caquot notamment). En Eurocode 2, la méthode reste un outil de prédimensionnement et de vérification, sous réserve de la ductilité des sections.
6. Feuille de calcul
Poutre continue de plancher, méthode forfaitaire (BAEL 91 ou Eurocode 2)
Les valeurs sont à titre indicatif. Modifiez-les pour voir l’influence de chaque paramètre ; le calcul se met à jour immédiatement. La largeur λx du panneau, la hauteur de nervure et la surface de plancher reportée sur la poutre sont calculées à partir des autres données.
| Charges et géométrie du plancher | ||
|---|---|---|
| Revêtement / Cloisons / Faux plafond | / / | kN/m² |
| q : charge d’exploitation (bureaux) | kN/m² | |
| edalle : épaisseur de la dalle | cm | |
| l : portée libre (entre nus) de la travée de rive étudiée | m | |
| l2 : portée libre de la travée voisine | m | |
| Nombre de travées de la poutre | ||
| a : entraxe des poutres parallèles (λx = a − b0) | m | |
| Section, matériaux et armatures | ||
|---|---|---|
| fc28 (BAEL) ou fck (EC2) | MPa | |
| fe (BAEL) ou fyk (EC2), acier HA | MPa | |
| Classe de ductilité des aciers | ||
| b0 : largeur de nervure | cm | |
| h : hauteur totale (dalle comprise) | cm | |
| d : hauteur utile | cm | |
| Aappui / Atravée | / | cm² |
| Cadres : branches × ⌀ / espacement | × / | ·/cm/cm |
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