Exemple complet d’une poutre en béton armé selon l’Eurocode 2

Exemple complet d’une poutre en béton armé selon l’Eurocode 2 : de l’ELU à la fissuration

Cet article reprend de bout en bout la justification d’une section de poutre en té selon l’Eurocode 2 : aciers de flexion à l’ELU, sections minimale et maximale, contraintes sous charges quasi permanentes, puis calcul direct de l’ouverture des fissures. Il montre sur un même exemple comment s’enchaînent des justifications présentées séparément dans les autres articles de flexion et de fissuration.

1. Le problème : dimensionner puis vérifier une poutre de bout en bout

Le dimensionnement d’une poutre ne s’arrête pas au calcul des aciers de flexion à l’ELU. Il faut ensuite vérifier que la section ainsi armée se comporte correctement en service, en particulier vis-à-vis de la fissuration.

L’Eurocode 2 propose deux voies pour la fissuration : une vérification sans calcul direct, par tableaux (7.3.3, tableaux 7.2N et 7.3N), ou le calcul de l’ouverture des fissures w_k (7.3.4). La feuille applique la seconde.

2. Le mécanisme : ELU par le diagramme rectangulaire, puis section fissurée à l’ELS

Poutre ou poutre-cloison

L’Eurocode 2 (5.3.1(3)) appelle poutre un élément dont la portée est au moins égale à 3 fois la hauteur totale de la section. Sinon, il convient de le considérer comme une poutre-cloison, qui se calcule autrement (bielles et tirants, dispositions de 9.7) : la feuille demande la portée L et ne calcule pas si L < 3 h.

Hypothèses de calcul à l’ELU

• béton : f_cd = α_cc f_ck/γ_c avec α_cc = 1 (AN, 3.1.6(1)) et γ_c = 1,5 ; diagramme rectangulaire de hauteur λx et de contrainte η f_cd, avec λ = 0,8 et η = 1 pour f_ck ≤ 50 MPa (3.1.7(3)) ; raccourcissement ultime ε_cu3 = 3,5 ‰ (tableau 3.1) ;
• acier : f_yd = f_yk/1,15, E_s = 200 GPa (3.2.7(4)) ; f_yk au plus égal à 500 MPa en général (AN, 3.2.2(3)).

Moment réduit, bras de levier et section d’acier

Tant que 0,8x ≤ h₀, la section se calcule comme un rectangle de largeur b_eff. Au-delà, il faut un calcul en té, que la feuille ne fait pas.

Sans aciers comprimés, l’acier tendu doit atteindre f_yd, c’est-à-dire ε_s ≥ ε_yd = f_yd/E_s :

Pour f_yk = 500 MPa, α_lim = 0,617 et μ_lim = 0,372. Au-delà, la feuille ne calcule pas (aciers comprimés nécessaires).

Sections minimale et maximale (9.2.1.1)

• b_t : largeur moyenne de la zone tendue, réduite à la largeur d’âme b_w pour une poutre en té dont la table est comprimée ;
• l’AN retient la première expression de (9.1N) seulement (le plancher 0,0013 b_t d n’est pas à retenir) et la valeur recommandée de A_s,max.

Contraintes à l’ELS (section fissurée)

Le béton tendu est négligé et l’acier est homogénéisé par le coefficient d’équivalence α_e. Le guide FD P18-717 admet α_e = 15 pour les bétons courants lorsqu’une grande précision n’est pas nécessaire ; la feuille retient cette valeur.

Sous charges quasi permanentes, si σ_c ≤ k₂ f_ck = 0,45 f_ck, on peut admettre un fluage linéaire (7.2(3), valeur recommandée retenue par l’AN). La feuille s’arrête au-delà.

Ouverture des fissures (7.3.4)

• ρ_p,eff = A_s/A_c,eff, avec A_c,eff = b_w h_c,ef et h_c,ef = min[2,5 (h − d) ; (h − y)/3 ; h/2] (7.3.2(3), figure 7.1) ; la largeur b_w suppose que h_c,ef reste dans l’âme (h_c,ef ≤ h − h₀), la feuille ne calcule pas au-delà ;
• A_s ne compte que les barres situées dans A_c,eff (AN, 7.3.4(2)) : la feuille déduit de s, φ et c la disposition la plus compacte des lits et ne calcule pas si le lit supérieur sort de h_c,ef ;
• α_e = E_s/E_cm dans cette formule (et non 15), E_cm = 22 [(f_ck + 8)/10]^0,3 GPa et f_ct,eff = f_ctm = 0,30 f_ck^2/3 (tableau 3.1), fissuration supposée après 28 jours ;
• k_t = 0,4 (chargement de longue durée), k₁ = 0,8 (barres à haute adhérence), k₂ = 0,5 (flexion), k₄ = 0,425 ;
• k₃ = 3,4 pour c ≤ 25 mm et k₃ = 3,4 (25/c)^2/3 au-delà (AN, 7.3.4(3)) : c’est la valeur à utiliser, pas une option ; pour c = 40 mm, k₃ = 2,49 ;
• c est l’enrobage des barres longitudinales, au moins égal à leur diamètre et à 10 mm (4.4.1.2, tableau 4.2) ; l’entraxe s laisse une distance libre au moins égale à max(φ ; 20 mm) (8.2(2)) ; la feuille vérifie aussi que les barres saisies tiennent dans l’âme et que leur centre de gravité est compatible avec d ;
• si l’entraxe des barres dépasse 5 (c + φ/2), l’AN retient la plus grande des valeurs données par (7.11) et par s_r,max = 1,3 (h − y) (7.14).

L’ouverture calculée est comparée à w_max du tableau 7.1NF de l’AN (combinaison quasi permanente, béton armé) : 0,40 mm en X0 et XC1, 0,30 mm en XC2 à XC4, 0,20 mm en XD et XS. En X0 et XC1, sauf demande spécifique des documents particuliers du marché, l’AN suppose la maîtrise de la fissuration assurée par les dispositions constructives minimales (note (2) du tableau). Pour les bâtiments de catégories d’usage A à D en XC2 à XC4, l’AN admet, sauf demande des documents particuliers du marché, que la maîtrise de la fissuration est assurée par les dispositions constructives minimales (note (3) du tableau). Pour les poutres de plus de 2 m de hauteur, la maîtrise de la fissuration relève de la NF EN 1992-2 ou de la NF EN 1992-3 : la feuille refuse ce cas.

Notations

3. Les étapes de la justification

1. Domaine : poutre et non poutre-cloison (L ≥ 3 h), enrobage et entraxe minimaux, barres compatibles avec la largeur d’âme et la hauteur utile.
2. ELU flexion : moment réduit, domaine (μ < μ_lim, zone comprimée dans la table), hauteur comprimée, section d’aciers selon le diagramme choisi.
3. Section mise en place : besoin ELU, sections minimale et maximale.
4. ELS : axe neutre et inertie de la section fissurée, contraintes σ_c et σ_s, limite de fluage linéaire.
5. Fissuration : calcul direct de w_k et comparaison à w_max.

L’exemple traité

Eurocode 2, ELU. μ = 0,0931 < μ_lim = 0,372, α = 0,1223, x = 13,45 cm et 0,8x = 10,76 cm ≤ h₀ : la zone comprimée reste dans la table. z = 104,62 cm et, avec la branche horizontale, A_s,théo = 115,5 cm².

Les 15 HA32 (120,64 cm²) couvrent ce besoin et respectent A_s,min = 10,1 cm² et A_s,max = 362 cm². L’exemple conserve d = 1,10 m ; trois lits de HA32 espacés d’un diamètre placent le centre de gravité des aciers à 12 cm de la fibre inférieure, soit d ≈ 1,13 m, ce qui laisse d = 1,10 m du côté de la sécurité.

Eurocode 2, ELS. L’axe neutre de la section fissurée est dans l’âme, y = 41,92 cm, I = 0,1236 m⁴. σ_c = 9,14 MPa ≤ 0,45 f_ck = 15,75 MPa et σ_s = 222,7 MPa.

h_c,ef = min(375 ; 276,9 ; 625) = 276,9 mm, c’est le terme (h − y)/3 qui gouverne. ρ_p,eff = 0,0792, k₃ = 2,49, l’entraxe de 110 mm est inférieur à 5(c + φ/2) = 280 mm, d’où s_r,max = 168,1 mm et w_k = 0,167 mm ≤ 0,30 mm.

La feuille affiche « Toutes les vérifications sont satisfaites ». L’exemple d’origine comptait 14 HA32 (112,56 cm²) : c’est suffisant avec la branche inclinée (111,3 cm²), pas avec la branche horizontale (115,5 cm²) ; il a donc été porté à 15 HA32.

La poutre ayant plus de 1 m de hauteur, des armatures de peau sont à prévoir (7.3.3(3)) ; la feuille ne les dimensionne pas.

4. Ce qu’il faut retenir

• La frontière entre pivots A et B n’a de sens qu’avec la branche inclinée de l’acier : μ_AB vaut 0,102, 0,056 ou 0,039 selon la classe de ductilité A, B ou C. Avec la branche horizontale, la déformation de l’acier n’a pas à être limitée.
• La limite utile sans aciers comprimés est μ_lim (0,372 pour f_yk = 500 MPa) : au-delà, l’acier tendu ne travaille plus à f_yd.
• Dans h_c,ef, il faut évaluer les trois termes du minimum : sur l’exemple, c’est (h − y)/3 qui gouverne, pas 2,5 (h − d).
• Pour un enrobage supérieur à 25 mm, l’AN impose k₃ = 3,4 (25/c)^2/3 dans s_r,max, ce qui réduit l’ouverture calculée : sur l’exemple, s_r,max = 168,1 mm au lieu de 204,7 mm avec k₃ = 3,4.
• Deux coefficients d’équivalence différents interviennent : α_e = 15 pour les contraintes (simplification du FD P18-717) et α_e = E_s/E_cm dans la formule de ε_sm − ε_cm (7.3.4(2)).

5. Références

• NF EN 1992-1-1 (Eurocode 2) : 4.4.1.2 et tableau 4.2 (enrobage minimal), 5.3.1(3) (poutre et poutre-cloison), 8.2(2) (distance libre entre barres), 3.1.7(3) (diagramme rectangulaire), tableau 3.1 (f_ctm, E_cm, ε_cu3), 3.2.7 (diagrammes de calcul des aciers, figure 3.8), 7.2 (limitation des contraintes), 7.3.2 à 7.3.4 (maîtrise de la fissuration, calcul de l’ouverture des fissures), 9.2.1.1 (sections minimale et maximale), Annexe C (propriétés des armatures).
• Annexe nationale française NF EN 1992-1-1/NA (mars 2016) : 3.1.6(1) (α_cc = 1), 3.2.2(3) (f_yk ≤ 500 MPa en général), 3.2.7(2) (ε_ud), 7.2(3) (k₂), 7.3.1(5) (tableau 7.1NF), 7.3.4(2) (barres situées dans A_c,eff), 7.3.4(3) (k₃, k₄ et espacement), 9.2.1.1 (A_s,min, A_s,max).
• FD P18-717 (guide d’application des NF EN 1992) : coefficient d’équivalence pour les contraintes à l’ELS (commentaire de 7.2 et 7.3).

6. Feuille de calcul