Coefficient de comportement : q

Coefficient de comportement : q de l’Eurocode 8 et K du RPS 2011

Eurocode 8 et RPS 2011 : coefficient de comportement q et facteur de comportement K selon la ductilité et le type de contreventement

Article NC-02-11-08-54 · Référentiels : Eurocode 8 (NF EN 1998-1, amendement A1 de 2013 et annexe nationale de décembre 2013), bâtiments en béton, §5.2.2.2 et §5.3.3 ; RPS 2011 (règlement de construction parasismique marocain RPS 2000, version 2011), article 3.3, Tableaux 3.2 et 3.3 · Niveau : jeune ingénieur structure

Le coefficient de comportement q réduit le spectre élastique pour tenir compte de la capacité de la structure à dissiper l’énergie par un comportement ductile, ce qui permet de mener une analyse élastique au lieu d’une analyse non linéaire explicite. Pour un bâtiment en béton, sa valeur dépend de la classe de ductilité, du type de contreventement, de la régularité du bâtiment et, pour les systèmes de murs, d’un coefficient k_w lié au mode de rupture prédominant. Le règlement marocain RPS 2011 emploie de son côté un facteur de comportement K, lu dans un tableau selon le système de contreventement et le niveau de ductilité. Cet article détaille les deux démarches, calcule q et K dans une feuille modifiable et explique pourquoi les deux coefficients ne sont pas interchangeables.

Avertissement : exemple de calcul à but pédagogique

Cette page présente un exemple de calcul destiné à l’apprentissage de la détermination du coefficient de comportement selon l’Eurocode 8. Elle ne constitue pas un outil de dimensionnement d’ouvrages réels : le classement du système structural et les critères de régularité sont déclarés par l’utilisateur et ne sont pas vérifiés par la feuille.

NEOGENESIS décline toute responsabilité quant à l’utilisation de ces calculs dans des projets qui ne sont pas contrôlés par NEOGENESIS. Le seul moyen d’engager notre responsabilité est de faire valider ces calculs par nos ingénieurs dans le cadre d’une mission de contrôle technique.

1. Le problème : un même bâtiment peut viser trois niveaux de ductilité

L’Eurocode 8 laisse au concepteur le choix de la classe de ductilité : limitée (DCL), moyenne (DCM) ou haute (DCH).

Plus la classe est élevée, plus le coefficient q est grand, donc plus l’action sismique de calcul est réduite. En contrepartie, les dispositions particulières de la classe (EC8 §5.4 à §5.6) sont plus exigeantes.

Le choix de la classe engage donc la conception du ferraillage autant que le niveau de sollicitation.

En France, l’emploi des classes DCM et DCH n’est pas limité géographiquement (annexe nationale, clause 5.2.1 (5)P).

Le RPS 2011 définit de même trois niveaux de ductilité, ND1, ND2 et ND3 (3.3.2). À la différence de l’Eurocode 8, il fixe un niveau minimal selon la classe du bâtiment et le coefficient de vitesse de la zone (Tableau 3.2).

2. Le mécanisme : q₀ selon le contreventement, k_w pour les murs

Eurocode 8 : expression générale (classes DCM et DCH)

Pour chaque direction de calcul, la valeur supérieure du coefficient de comportement vaut (EC8 §5.2.2.2 (1)P, expression (5.1)) :

q = q₀ k_w ≥ 1,5

q₀ : valeur de base, fonction du type de système structural et de la régularité en élévation ;
k_w : coefficient reflétant le mode de rupture prédominant des systèmes de murs.

Eurocode 8 : valeur de base q₀ (Tableau 5.1)

Pour un bâtiment régulier en élévation (critères du §4.2.3.3) :

Type structural	DCM	DCH
Système à ossature, système à contreventement mixte, système de murs couplés	3,0 α_u/α₁	4,5 α_u/α₁
Système de murs non couplés	3,0	4,0 α_u/α₁
Système à noyau	2,0	3,0
Système en pendule inversé	1,5	2,0

Pour un bâtiment qui n’est pas régulier en élévation, q₀ est réduit de 20 % (§5.2.2.2 (3)).

Une majoration de q₀ d’au plus 20 % est possible sous un plan de système qualité particulier (§5.2.2.2 (10)), aux conditions fixées par l’annexe nationale : la feuille ne l’applique pas.

Le tableau range sur une même ligne les ossatures, les systèmes mixtes et les murs couplés : la distinction entre système « équivalent à une ossature » et « équivalent à des murs » intervient dans le rapport α_u/α₁ et dans k_w.

Eurocode 8 : rapport α_u/α₁

α₁ : multiplicateur de l’action sismique horizontale de calcul qui fait atteindre, pour la première fois, la résistance en flexion d’un élément ;
α_u : multiplicateur qui forme assez de rotules plastiques pour rendre la structure globalement instable (§5.2.2.2 (4)).

Sans calcul, pour un bâtiment régulier en plan, on peut retenir les valeurs approximatives du §5.2.2.2 (5) :

ossature ou mixte équivalent à une ossature : 1,1 pour un bâtiment d’un étage ; 1,2 pour une ossature à une travée de plusieurs étages ; 1,3 pour plusieurs travées de plusieurs étages ;
murs : 1,0 pour uniquement deux murs non couplés par direction horizontale ; 1,1 pour les autres systèmes de murs non couplés ; 1,2 pour un système mixte équivalent à des murs ou un système de murs couplés.

Pour un bâtiment irrégulier en plan, la valeur approximative est la moyenne de 1,0 et de la valeur ci-dessus (§5.2.2.2 (6)).

Une valeur plus élevée n’est admise que si une analyse statique non linéaire (en poussée progressive) la confirme, et jamais au-delà de 1,5 (§5.2.2.2 (7) et (8)).

Au sens de l’EN 1998-1, un « étage » est un niveau de masse : la toiture compte comme un étage (note du FD P06-031 intégrée à la norme).

Eurocode 8 : coefficient k_w

k_w = 1,00 ossatures, systèmes mixtes équivalents à des ossatures
k_w = (1 + α₀)/3 ≤ 1, et au moins 0,5 systèmes de murs, équivalents à des murs et à noyau

Lorsque les rapports h_wi/l_wi de tous les murs ne diffèrent pas de manière significative, le rapport de forme prédominant vaut (§5.2.2.2 (12)) :

α₀ = Σh_wi / Σl_wi

h_wi : hauteur du mur i ;
l_wi : longueur de la section du mur i.

L’expression (5.2) ne cite pas le système en pendule inversé : la feuille lui applique k_w = 1,00, hypothèse de la feuille, k_w traduisant le mode de rupture des seuls systèmes de murs.

Eurocode 8 : la classe DCL (ductilité limitée)

Le bâtiment est alors dimensionné selon l’EN 1992-1-1, sans les dispositions particulières des classes DCM et DCH (EC8 §5.2.1 (2)P). Les éléments sismiques primaires utilisent des aciers de classe B ou C (§5.3.2 (1)P ; l’annexe nationale admet la classe A pour certains aciers de montage ou de peau).

Le coefficient de comportement peut aller jusqu’à 1,5, quels que soient le système structural et la régularité en élévation (§5.3.3 (1)).

L’EN 1998-1 recommande de réserver la DCL aux cas de faible sismicité (§5.3.1 (1)). En France, l’annexe nationale (clause 5.3.1 (1)) la déclare applicable aux bâtiments de catégorie d’importance III en zone de sismicité faible (zone 2), permet de l’étendre aux catégories II et III et à la zone 3 moyennant des exigences complémentaires sur les éléments de contreventement, et l’exclut pour la catégorie IV.

RPS 2011 : niveaux de ductilité

ND1, ductilité faible : réponse essentiellement élastique ; conception selon le règlement de béton armé en vigueur avec les exigences de dispositions constructives du chapitre 7 (3.3.2.1) ;
ND2, ductilité moyenne : prescriptions sismiques spécifiques permettant l’entrée dans le domaine inélastique avec une protection raisonnable contre une rupture prématurée (3.3.2.2) ;
ND3, ductilité élevée : prescriptions spéciales sur l’action de calcul, le dimensionnement et les assemblages, pour former les mécanismes dissipatifs prévus (3.3.2.3).

RPS 2011 : niveau de ductilité requis

Le Tableau 3.2 donne le niveau requis selon la classe du bâtiment (3.1.1) et le coefficient de vitesse υ de la zone (Tableau 5.1) :

Classe	υ ≤ 0,10	0,10 < υ ≤ 0,20	υ > 0,20
I et II	ND1	ND2	ND3
III	ND1	ND1	ND2

Les zones de vitesse 0 à 4 correspondent à υ = 0 ; 0,07 ; 0,10 ; 0,13 ; 0,17 (Tableau 5.1). Pour chaque commune, l’annexe du RPS donne la zone. La zone 0 (υ = 0) n’est pas déclarée hors du champ du règlement : elle relève de la colonne υ ≤ 0,10 du Tableau 3.2.

En cas de grandes incertitudes sur la proximité de foyers sismiques potentiels ou sur l’évaluation de l’amplification du site, le RPS demande ND3 au lieu de ND2 pour un séisme moyen (3.3.3). La feuille refuse un niveau choisi inférieur au niveau requis.

RPS 2011 : facteur de comportement K (Tableau 3.3)

K caractérise la capacité de la structure à dissiper l’énergie par un comportement inélastique ; il dépend du système de contreventement et du niveau de ductilité choisi (3.3.4). Pour les ossatures en béton armé :

Système	ND1	ND2	ND3
Portiques en béton armé	2	3,5	5
Voiles et portiques	2	3	4
Voiles	1,4	2,1	2,8
Voiles couplés	1,8	2,5	3,5

Si plusieurs types de systèmes résistent ensemble dans la même direction, K est la plus faible des valeurs correspondantes (commentaire 3.2). Le Tableau 3.3 donne aussi deux lignes pour les ossatures en acier, hors du champ de cette fiche.

K intervient dans la force sismique de l’approche statique équivalente, F = υ S D I W / K (6.1), traitée dans l’article effort tranchant sismique à la base.

q et K : deux coefficients qui ne s’assimilent pas

1. Deux définitions

Eurocode 8. q est une approximation du rapport entre les forces sismiques que subirait la structure si sa réponse était complètement élastique, avec un amortissement visqueux de 5 %, et les forces utilisables pour le dimensionnement avec un modèle linéaire (§3.2.2.5 (3)P). Il réduit le spectre élastique pour donner le spectre de calcul.

RPS 2011. K est le « facteur de réduction de la force sismique de calcul, ou coefficient de ductilité », qui caractérise la capacité à dissiper l’énergie par comportement inélastique (3.3.4). Il divise la force F = υ S D I W / K.

2. Deux usages différents

En Eurocode 8, q n’agit pas uniformément : sur la branche des très courtes périodes, l’ordonnée de calcul part de a_g S × 2/3 à T = 0 quel que soit q (expression (3.13)), et elle ne descend pas sous β a_g aux longues périodes ;
en RPS 2011, K divise la force sur tout le domaine de l’approche statique équivalente ;
les efforts élastiques divisés ne sont pas construits de la même façon : a_g S × 2,5 sur le palier du spectre de l’Eurocode 8, υ S D I avec D jusqu’à 3,5 dans le RPS ;
le RPS réemploie K pour les déformations : indice de stabilité θ = K W Δ_el / (υ h) (8.1 a) et limites des déplacements inter-étages K Δ_el ≤ 0,007 h (classe I) ou 0,010 h (classe II) (8.4 b, expression (8.3)).

3. Des paramètres différents

q dépend de la classe de ductilité choisie, du système, de la régularité en élévation (réduction de 20 %), de la régularité en plan (α_u/α₁) et, pour les murs, du rapport de forme (k_w) ;
K dépend seulement du système et du niveau de ductilité ; le RPS impose un niveau minimal selon la classe du bâtiment et la zone, et la régularité conditionne l’emploi de l’approche statique équivalente (6.2.1.2), non la valeur de K ;
aucun des deux textes n’établit de correspondance entre DCL, DCM, DCH et ND1, ND2, ND3.

4. Comparaison chiffrée sur l’exemple

Pour les voiles non couplés de l’exemple : q = 2,50 en DCM et 3,67 en DCH ; K = 1,4 en ND1, 2,1 en ND2 et 2,8 en ND3.

La valeur K = 1,4 est inférieure à la borne q ≥ 1,5 de l’Eurocode 8 en DCM et DCH : les deux échelles ne se superposent pas. Le rapport q/K ne donne donc pas le rapport des efforts de calcul ; sur le bâtiment de l’article effort tranchant sismique à la base, q = 1,855 et K = 1,4 conduisent à des efforts à la base voisins (8 376 kN et 8 622 kN) parce que les autres termes diffèrent.

Chaque coefficient s’emploie uniquement avec le texte qui le définit.

3. Les étapes de la détermination

Choix de la classe de ductilité (DCL, DCM ou DCH), selon la sismicité du site et les règles applicables au projet.
Classement du système structural selon les définitions du §5.1.2 (parts de l’effort tranchant à la base reprises par les murs ou par l’ossature, rigidité à la torsion). Les murs de grandes dimensions en béton peu armé (§5.2.2.1 (3)P) ne sont pas traités par la feuille.
Régularité en élévation et en plan (§4.2.3), qui fixent la réduction de q₀ et la valeur de α_u/α₁.
Lecture de q₀ dans le Tableau 5.1, avec α_u/α₁ quand il intervient.
Calcul de k_w pour les systèmes de murs et à noyau.
Coefficient final q = q₀ k_w, au moins égal à 1,5.

En RPS 2011 :

Classe du bâtiment (3.1.1) et zone de vitesse de la commune (annexe, Tableau 5.1).
Niveau de ductilité requis (Tableau 3.2, et 3.3.3 en cas de grandes incertitudes).
Niveau choisi, au moins égal au niveau requis.
Lecture de K dans le Tableau 3.3 ; valeur la plus faible si plusieurs systèmes résistent dans la même direction.

L’exemple traité en Eurocode 8

Classe de ductilité	DCM
Système structural	murs non couplés (hors murs de grandes dimensions en béton peu armé, hypothèse de l’exemple)
Régularité	bâtiment régulier en plan et en élévation
Murs	Σh_wi = 12 m ; Σl_wi = 8 m (rapports h_wi/l_wi voisins)

Valeur de base. En DCM, les murs non couplés ont q₀ = 3,0, sans rapport α_u/α₁.

Coefficient k_w. α₀ = 12/8 = 1,5 ; (1 + 1,5)/3 = 0,833, compris entre 0,5 et 1 : k_w = 0,833.

Résultat. q = 3,0 × 0,833 = 2,50 ≥ 1,5.

Variante DCH. Pour « autres systèmes de murs non couplés », α_u/α₁ = 1,1 : q₀ = 4,0 × 1,1 = 4,4 et q = 4,4 × 0,833 = 3,67.

L’exemple traité en RPS 2011

Bâtiment	bureaux, classe III, contreventés par voiles
Site	Marrakech, commune de Menara Gueliz : zone de vitesse Z_v = 2 (annexe du RPS), υ = 0,10
Ductilité	ND1 choisi ; pas de grande incertitude déclarée

Niveau requis. Classe III et υ = 0,10 ≤ 0,20 : ND1 (Tableau 3.2).

Résultat. Voiles en ND1 : K = 1,4 (Tableau 3.3).

Variante. Une école (classe II) à Agadir, où l’annexe donne la zone de vitesse 3 (υ = 0,13), exige ND2 : K = 2,1 pour des voiles. Avec de grandes incertitudes sur le site, ND3 est requis : K = 2,8.

4. Ce qu’il faut retenir

Le coefficient de comportement dépend d’abord d’un choix de conception, la classe de ductilité : une classe DCH suppose le respect complet de ses dispositions particulières (§5.5).
k_w vaut 1,00 pour les ossatures et les systèmes mixtes équivalents à des ossatures. Il se calcule par la formule en α₀ pour les systèmes de murs, équivalents à des murs et à noyau ; l’appliquer à une ossature pénaliserait q sans raison.
Les valeurs approximatives de α_u/α₁ évitent une analyse en poussée progressive. Une telle analyse peut justifier une valeur plus élevée, plafonnée à 1,5.
Quel que soit le cas, q n’est jamais pris inférieur à 1,5 en DCM et DCH, et ne dépasse pas 1,5 en DCL.
RPS 2011 : K se lit dans le Tableau 3.3 selon le système et le niveau de ductilité ; ce niveau ne peut être inférieur au niveau requis par le Tableau 3.2.
q et K n’ont ni la même définition ni le même usage : on ne transpose pas une valeur d’un texte à l’autre.

5. Références

NF EN 1998-1 (septembre 2005), Eurocode 8 : calcul des structures pour leur résistance aux séismes, partie 1, et son amendement A1 (mai 2013) : §4.2.3, §5.1.2, §5.2.1, §5.2.2.1, §5.2.2.2, §5.3.
NF EN 1998-1/NA (décembre 2013), annexe nationale française : clauses 5.2.1 (5)P, 5.2.2.2 (10) et 5.3.1 (1).
NF EN 1992-1-1 (Eurocode 2) : calcul des structures en béton, règles générales et règles pour les bâtiments (classe DCL).
Règlement de construction parasismique RPS 2000, version 2011 (Maroc), approuvé par le décret n° 2-12-682 du 28 mai 2013 : articles 3.1.1, 3.3 (Tableaux 3.2 et 3.3, commentaire 3.2), 5.2.2 (Tableau 5.1) et annexe (zones par commune).

NEOPEDIA · en pratique

Sur les projets justifiés en Eurocode 8, nos ingénieurs vérifient que le coefficient k_w n’est pas oublié pour les systèmes de murs et à noyau : comme k_w ≤ 1, son omission surestime le coefficient de comportement, donc sous-évalue l’action sismique de calcul. Sur les projets marocains, ils contrôlent que le niveau de ductilité retenu pour K respecte le Tableau 3.2 du RPS 2011 et que les prescriptions du chapitre 7 correspondantes sont appliquées.

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