Dalle rectangulaire sur quatre côtés : calculer les moments par la méthode de Pigeaud

Dalle rectangulaire sur quatre côtés : calculer les moments par la méthode de Pigeaud

Une dalle rectangulaire posée sur ses quatre côtés ne fléchit pas de la même façon dans ses deux directions : presque carrée, elle porte à peu près également dans les deux sens ; très allongée, elle porte presque comme une poutre, dans le sens court. Les deux moments de flexion M_x (sens court) et M_y (sens long) se déduisent d’un seul rapport géométrique, α = l_x/l_y, lu dans un tableau de coefficients : c’est la méthode dite de Pigeaud. Cet article explique cette lecture, puis calcule un exemple complet à l’ELU et à l’ELS, en BAEL 91 révisé 99 et en Eurocode 2, dans une feuille modifiable.

1. Le problème : une dalle porte dans les deux sens, pas dans un seul

Une bande de dalle qui ne porte que dans un sens se calcule comme une poutre : sur deux appuis simples, son moment maximal vaut p l²/8.

Une dalle rectangulaire appuyée sur ses quatre côtés se déforme dans les deux directions à la fois : une part de la charge part vers les grands côtés au lieu d’être entièrement portée par les petits côtés.

Ignorer cet effet conduit à surestimer le moment dans le sens court et à ne pas armer le sens long, qui travaille pourtant. Dans l’exemple ci-dessous (α = 0,853), le moment M_x vaut environ 0,05 p l_x², contre 0,125 p l_x² pour une bande portant dans un seul sens.

2. Le mécanisme : un rapport de portée, deux coefficients de tableau

On note l_x le petit côté de la dalle, l_y le grand côté (l_x ≤ l_y) et p la charge uniformément répartie par unité de surface, couvrant tout le panneau. Le rapport α = l_x/l_y, compris entre 0 et 1, résume la géométrie. Pour un panneau articulé sur son contour, un tableau donne deux coefficients μ_x et μ_y, d’où :

Plus la dalle est allongée (α petit), plus μ_x se rapproche de la valeur de la bande isolée (0,125) et plus μ_y diminue. Pour une dalle carrée (α = 1), μ_y = 1 : les deux moments sont égaux.

Le tableau dépend du référentiel

• BAEL 91 révisé 99 : tableau de l’annexe E.3 (moments au centre du panneau, portées mesurées entre nus des appuis), établi pour 0,40 ≤ α ≤ 1 avec ν = 0. Le règlement prend ν = 0 pour le calcul des sollicitations et 0,2 pour celui des déformations (article A.2.1,3) : les mêmes coefficients servent à l’ELU et à l’ELS.
• Eurocode 2 : Tableau 1 du guide d’application FD P18-717 (commentaire de 5.6.1(3)P de NF EN 1992-1-1, moments maximaux), établi pour 0,50 ≤ α ≤ 1, avec deux colonnes : ν = 0 (béton fissuré) et ν = 0,2 (béton non fissuré), selon NF EN 1992-1-1, 3.1.3(4). La feuille retient ν = 0 à l’ELU et ν = 0,2 à l’ELS (analyse linéaire en sections non fissurées, 5.4(2)) ; sur tout le tableau, la colonne ν = 0,2 donne des moments plus élevés, ce qui place ce choix du côté de la sécurité.

La feuille interpole linéairement entre les lignes du tableau (pas de 0,05). Extrait :

En BAEL, le tableau ne donne pas μ_y pour α < 0,60 : les valeurs inférieures à 0,25 (α ≤ 0,557) ne sont pas à prendre en considération (note de l’annexe E.3, en application de l’article A.8.2,41). La feuille retient alors 0,25, d’où la valeur entre parenthèses, et interpole entre 0,25 et 0,305 pour 0,557 < α < 0,60.

Domaine d’emploi

En Eurocode 2, l’élément est une dalle si sa plus petite dimension dans son plan est au moins égale à 5 fois son épaisseur (5.3.1(4)) : la feuille demande l’épaisseur h pour le vérifier ; elle s’en sert aussi pour refuser une charge permanente g inférieure au poids propre de la dalle (25h, béton armé de poids normal à 25 kN/m³, NF EN 1991-1-1, Tableau A.1). Hors de ces domaines, la feuille ne donne aucun résultat.

3. Les étapes de la justification

• Rapport de portée α = l_x/l_y et domaine d’emploi du tableau du référentiel.
• Charges de calcul : p_ELU = 1,35 g + 1,5 q (BAEL, article A.3.3,21 ; NF EN 1990, expression 6.10 et annexe nationale) et p_ELS = g + q (combinaison rare du BAEL, article A.3.3,3 ; combinaison caractéristique de NF EN 1990, expression 6.14b).
• Coefficients μ_x, μ_y calculés à partir de α, à l’ELU et à l’ELS.
• Moments M_x et M_y, par mètre de largeur, à l’ELU (ferraillage) et à l’ELS (vérifications de service).

Notations

Exemple traité

BAEL 91. μ_x = 0,0507 et μ_y = 0,6910 à l’ELU comme à l’ELS. M_x = 11,51 kN·m/m et M_y = 7,95 kN·m/m à l’ELU ; M_x = 8,22 kN·m/m et M_y = 5,68 kN·m/m à l’ELS.

Eurocode 2. À l’ELU (ν = 0), μ_x = 0,0503 et μ_y = 0,6934 : M_x = 11,42 kN·m/m et M_y = 7,91 kN·m/m. À l’ELS (ν = 0,2), μ_x = 0,0572 et μ_y = 0,7845 : M_x = 9,27 kN·m/m et M_y = 7,28 kN·m/m.

4. Ce qu’il faut retenir

• Une dalle sur quatre appuis porte dans les deux sens : ignorer le sens long revient à ne pas l’armer.
• Un seul paramètre géométrique, α = l_x/l_y, suffit à obtenir les deux coefficients de moment.
• Le tableau et son domaine suivent le référentiel : annexe E.3 et α ≥ 0,40 en BAEL ; Tableau 1 du guide FD P18-717 et α ≥ 0,50 en Eurocode 2. En deçà, la dalle se calcule comme portant dans un seul sens.
• En BAEL, les coefficients sont les mêmes à l’ELU et à l’ELS (ν = 0). En Eurocode 2, la colonne ν = 0,2 retenue à l’ELS donne des moments plus élevés dans les deux sens.

5. Références

• Règles BAEL 91 révisées 99 (DTU P18-702) : article A.2.1,3 (coefficient de Poisson), article A.3.3 (combinaisons d’actions), articles A.8.2,31 et A.8.2,41, article B.7.1, annexe E.3 (panneaux de hourdis rectangulaires uniformément chargés articulés sur leur contour).
• NF EN 1992-1-1 (Eurocode 2) et son annexe nationale : 3.1.3(4), 5.3.1(4) et (5), 5.4(2).
• FD P18-717 (guide d’application des NF EN 1992) : commentaire de 5.6.1(3)P, Tableau 1.
• NF EN 1990 et son annexe nationale : expressions 6.10 et 6.14b, Tableau A1.2(B)(NF).

6. Feuille de calcul