Semelle isolée équilibrant un moment

Semelle isolée équilibrant un moment fléchissant : diagramme de pression et armatures

Article NC-02-13-06-02 · Méthode : excentrement et pression au sol (NF P 94-261, modèle de Meyerhof), moment dans la section à 0,35 a du poteau et ancrage (modèle de la NF EN 1992-1-1, 9.8.2.2), sections vérifiées en BAEL 91 ou en Eurocode 2 · Niveau : jeune ingénieur structure

Un poteau qui transmet à sa semelle non seulement un effort normal mais aussi un moment fléchissant (poteau de rive, effet du second ordre, charge horizontale en tête) déplace la résultante des pressions au sol vers le bord le plus chargé : la pression n’est plus uniforme. Cet article détaille la méthode qui en déduit l’excentrement, la pression sur le sol, le moment de calcul des armatures, l’ancrage des barres et le poinçonnement, sans recourir à un calcul aux éléments finis.

Avertissement : exemple de calcul à but pédagogique

Cette page présente un exemple de calcul destiné à l’apprentissage de la justification élémentaire des éléments de structure. Elle ne constitue pas un outil de dimensionnement d’ouvrages réels, et les résultats ne sont pas vérifiés pour un projet donné. La semelle est supposée coulée sur béton de propreté, sans remblai sur sa face supérieure, avec un moment dans une seule direction ; la flexion déviée (moment dans les deux directions) est hors du champ de la feuille.

NEOGENESIS décline toute responsabilité quant à l’utilisation de ces calculs dans des projets qui ne sont pas contrôlés par NEOGENESIS. Le seul moyen d’engager notre responsabilité est de faire valider ces calculs par nos ingénieurs dans le cadre d’une mission de contrôle technique.

1. Le problème : un moment en pied de poteau déplace la résultante des pressions au sol

Sous une charge parfaitement centrée, la pression du sol est uniforme et la semelle se calcule par la méthode des bielles (voir Semelle isolée sous poteau). Dès qu’un moment s’ajoute à l’effort normal, par exemple sur un poteau de rive de bâtiment ou lorsque le flambement introduit un moment du second ordre, la résultante des réactions du sol se déplace vers le bord le plus chargé.

Les Règles BAEL demandent alors de déterminer la position de la résultante des réactions du sol et de tenir compte des effets de l’excentrement sur la semelle (B.9.1,1). Les armatures ne peuvent plus être dimensionnées par la seule méthode des bielles, qui suppose une pression uniforme.

2. Le mécanisme : ramener le couple (N, M) à une excentricité, puis à un moment de calcul

Deux jeux de coefficients à l’ELU

Les actions permanentes sont prises avec γ_G = 1,35 ou γ_G = 1,00 selon l’effet le plus défavorable (NF EN 1990 et annexe nationale, Tableau A1.2(B) ; BAEL A.3.3,21 : 1,35 G_max + G_min + 1,5 Q). Un poids réduit augmente l’excentricité : la feuille calcule les deux jeux et retient, pour chaque vérification, le plus défavorable.

jeu 1 : N_u = 1,35 G + 1,5 Q ; M_u = 1,35 M_g + 1,5 M_q + M₂
jeu 2 : N_u = G + 1,5 Q ; M_u = M_g + 1,5 M_q + M₂
H_d = 1,5 H_q

Excentrement et pression sur le sol (NF P 94-261)

Au contact du sol, la résultante comprend le poids propre de la semelle. Son excentrement e_s est limité à l’ELU par la NF P 94-261 (9.5), et la pression est estimée par le modèle de Meyerhof (Annexe G.2 ; FD P18-717, figure 37) : une répartition uniforme sur la largeur réduite a’ − 2 e_s.

e_s = M_u / (N_u + γ_G W) ; 1 − 2 e_s/a’ ≥ 1/15 ; e_s ≤ a’/3
p = (N_u + γ_G W) / (b’ (a’ − 2 e_s)) ≤ q_s

au-delà du tiers de la largeur, la norme demande des précautions spéciales (9.5 (2)) : la feuille déclare alors le cas hors de son champ ;
les critères d’excentrement à l’ELS (13.3) ne sont pas vérifiés par la feuille : ils demandent les combinaisons d’ELS et le moment du second ordre à l’ELS ;
q_s est une donnée de l’étude géotechnique : la feuille ne calcule pas la portance du terrain.

Glissement (NF P 94-261, 10.1)

H_d ≤ R_h;d = V_d tan δ_a;k / (γ_R;h γ_R;d;h)γ_R;h = 1,1 ; γ_R;d;h = 1,1 ; V_d = G (poids favorable) ; δ_a;k = φ’_crit pour une semelle coulée en place

Conditions drainées, cohésion négligée, butée non comptée. L’angle de frottement à l’interface est une donnée de l’étude géotechnique.

Moment de calcul des armatures

Pour les armatures, seule la pression nette due au poteau compte : le poids propre de la semelle est équilibré par une réaction uniforme du sol et n’apporte pas de moment. On ramène le couple (N_u, M_u) à l’excentricité e = M_u/N_u, puis à la position c = a’/2 − e de la résultante par rapport au bord chargé ; la pression nette p_n = N_u/(2 c b’) est répartie uniformément sur la largeur 2c (modèle de Meyerhof).

Le moment est calculé dans une section située à 0,15 a à l’intérieur du nu du poteau, soit à 0,35 a de son axe : c’est la section B du modèle de la NF EN 1992-1-1 pour les semelles de poteaux (9.8.2.2 (3), e = 0,15 b). L = 0,5 a’ − 0,35 a est la distance entre cette section et le bord chargé.

si 2c ≥ L : M = p_n b’ L²/2 = N_u L² / (4c)
si 2c < L : M = N_u (L − c) = N_u (e − 0,35 a)

La répartition linéaire des contraintes (trapézoïdale si e ≤ a’/6, triangulaire au-delà, NF P 94-261, G.3) est une autre estimation conventionnelle admise ; la feuille affiche pour information le moment qu’elle donnerait.

Section d’aciers et ancrage

La section b’ × d est vérifiée en flexion simple avec le diagramme rectangulaire simplifié (BAEL A.4.3,42 ; Eurocode 2, 3.1.7 (3) et 6.1) :

μ = M / (b’ d² f_bu) ≤ μ_R ; α = 1,25 (1 − √(1 − 2μ)) ; z = d (1 − 0,4 α) ; A = M / (z f_ed)en Eurocode 2, f_cd et f_yd remplacent f_bu et f_ed

L’ancrage des barres suit le modèle de la NF EN 1992-1-1 (9.8.2.2, figure 9.13) : l’effort de traction à ancrer avant la distance x du bord est F_s = R z_e/z_i, où R est la résultante de la pression sur la distance x, z_e la distance de R à la section B et z_i = 0,9 d. Pour des barres droites, la section x = h/2 est déterminante (9.8.2.2 (5)). La longueur d’ancrage nécessaire pour F_s (BAEL A.6.1,221 et A.6.1,222 ; Eurocode 2, 8.4.3 et 8.4.4) est comparée à la longueur droite disponible x − c_l ; si elle ne suffit pas, les barres sont à relever ou à munir de crochets.

3. Les étapes de la justification

Sollicitations de calcul : deux jeux de coefficients (γ_G = 1,35 et 1,00).
Excentrement de la résultante au contact du sol, limité par la NF P 94-261 (9.5).
Pression sur le sol (modèle de Meyerhof), comparée à la contrainte admissible.
Glissement sous l’effort horizontal en pied de poteau (NF P 94-261, 10.1).
Moment de calcul dans la section à 0,35 a de l’axe du poteau, selon le cas rencontré (2c supérieur ou inférieur à L).
Section d’aciers en flexion simple, comparée au ferraillage en place.
Ancrage des barres : barres droites ou crochets.
Poinçonnement : BAEL A.5.2,42 ; Eurocode 2, 6.4 (au nu du poteau et sur les contours situés au plus à 2d, avec le coefficient β de la charge excentrée).

Fig. 1 : semelle sous poteau soumis à un effort normal N_u et un moment M_u : la résultante des réactions du sol se décale de e par rapport au centre de la semelle ; la pression nette est répartie sur la largeur 2c (modèle de Meyerhof).

Notations

a, b	dimensions du poteau, a dans le sens du moment
a’, b’	dimensions de la semelle, a’ dans le sens du moment
h, d	hauteur totale et hauteur utile de la semelle
c_l	enrobage en about des barres, au bord de la semelle
G, Q	charges verticales permanente et d’exploitation transmises par le poteau
M_g, M_q	moments fléchissants permanent et variable transmis par le poteau
M₂	moment du second ordre (flambement), déjà évalué à l’ELU
H_q, H_d	effort horizontal variable en pied de poteau et sa valeur de calcul = 1,5 H_q
W	poids propre de la semelle = 25 a’ b’ h
N_u, M_u	effort normal et moment de calcul (ELU), pour chaque jeu de coefficients
e_s	excentrement de la résultante au contact du sol, poids propre compris
e, c	excentricité de la charge du poteau = M_u/N_u et position de la résultante par rapport au bord chargé = a’/2 − e
p, p_n	pression sur le sol (poids propre compris) et pression nette due au poteau (modèle de Meyerhof)
L	distance entre la section de calcul (à 0,35 a de l’axe) et le bord chargé = 0,5 a’ − 0,35 a
M, A	moment de calcul des armatures et section d’aciers dans le sens du moment
δ_a;k	angle de frottement à l’interface semelle / sol
F_s, z_e, z_i	effort de traction à ancrer à la distance x du bord, bras de levier des forces externes et internes

L’exemple traité

Poteau	a = b = 0,40 m ; G = 400 kN ; Q = 0 ; M_g = 23 kN·m ; M_q = 50 kN·m ; M₂ = 40 kN·m ; H_q = 9 kN
Semelle	a’ = b’ = 2,00 m ; h = 0,50 m ; axe des barres à 5 cm de la sous-face (d = 0,45 m) ; enrobage en about 3 cm
Sol	q_s = 3,0 bar ; δ_a;k = 30°
Matériaux	béton C25/30 (f_c28 = f_ck = 25 MPa) ; acier Fe E 500 / B500 (f_e = f_yk = 500 MPa)
Ferraillage	10 HA 12 parallèles à a’ (11,31 cm²)

Statique et sol, communs aux deux modes. Jeu 1 : N_u = 540 kN, M_u = 146,1 kN·m ; jeu 2 : N_u = 400 kN, M_u = 138,0 kN·m ; W = 50 kN. Excentrement maximal au sol e_s = 0,307 m (jeu 2) : 1 − 2 e_s/a’ = 0,69 ≥ 1/15 et e_s ≤ a’/3. Pression maximale (jeu 1) : e_s = 0,240 m, p = 2,00 bar ≤ 3,0 bar. Glissement : H_d = 13,5 kN ≤ 400 × tan 30° / 1,21 = 190,9 kN. Moment : e = 0,270 m, c = 0,730 m, L = 0,86 m, 2c ≥ L, M = 540 × 0,86² / (4 × 0,730) = 136,9 kN·m (jeu 1) ; la répartition linéaire donnerait 157,6 kN·m.

BAEL 91. f_bu = 14,17 MPa ; μ = 0,024 ; z = 0,445 m ; A = 7,08 cm² ≤ 11,31 cm². Ancrage à x = h/2 = 0,25 m : F_s = 167,9 kN, σ_s = 148,5 MPa, longueur requise 15,7 cm ≤ 22 cm disponibles : barres droites. Poinçonnement (A.5.2,42) : 540 kN ≤ 0,045 × 3,60 × 0,50 × 25/1,5 = 1 350 kN.

Eurocode 2. f_cd = 16,67 MPa ; μ = 0,020 ; A = 7,07 cm² ≤ 11,31 cm². Ancrage : f_bd = 2,693 MPa, l_bd = 16,5 cm ≤ 22 cm : barres droites. Poinçonnement au nu du poteau : β = 2,08, v_Ed,0 = 1,56 MPa ≤ v_Rd,max = 3,60 MPa ; contour le plus défavorable à r = 0,29 m : v_Ed = 0,41 MPa ≤ v_Rd = 1,16 MPa.

BAEL 91 et Eurocode 2 : une méthode d’origine statique, des vérifications de section différentes

1. Ce qui ne change pas

L’excentrement, la pression sur le sol et le glissement relèvent de la NF P 94-261 dans les deux modes : les Règles BAEL ne traitent pas la résistance du sol (B.9.0). Le moment dans la section à 0,35 a et le modèle d’ancrage sont ceux de la NF EN 1992-1-1 (9.8.2.2) ; en mode BAEL, ils sont retenus en l’absence de règle BAEL propre aux semelles soumises à un moment, les Règles demandant seulement de tenir compte de l’excentrement (B.9.1,1) et de vérifier l’ancrage des barres (B.9.1,2).

2. Résistances de calcul

BAEL : f_bu = 0,85 f_c28/(θ γ_b) avec θ = 1 et γ_b = 1,5 (A.4.3,41), f_ed = f_e/1,15. Eurocode 2 : f_cd = α_cc f_ck/γ_C avec α_cc = 1 (annexe nationale, 3.1.6 (1)P), f_yd = f_yk/1,15. La branche Eurocode 2 n’applique donc pas le coefficient 0,85 du BAEL.

3. Longueur d’ancrage

BAEL : τ_su = 0,6 ψ_s² f_t28 (A.6.1,21), longueur déduite de A_s σ_s = u l τ_su (A.6.1,221), au moins 10 φ (A.6.1,222). Eurocode 2 : f_bd = 2,25 η₁ η₂ f_ctd (8.4.2 (2)), l_b,rqd = (φ/4)(σ_sd/f_bd) (8.4.3 (2)), l_bd ≥ l_b,min = max(0,3 l_b,rqd ; 10 φ ; 100 mm) (8.4.4, Expression (8.6)), coefficients α₁ à α₅ pris égaux à 1.

4. Poinçonnement

BAEL : article A.5.2,42 appliqué tel qu’il est écrit (charge entière du poteau, contour u_c = 2 (a + b + 2h) au feuillet moyen), écrit pour une charge centrée. Eurocode 2 : vérification au nu du poteau (6.4.3 (2) a, v_Rd,max = 0,4 ν f_cd) et sur les contours situés au plus à 2d (6.4.4 (2)), avec la réaction nette du sol déduite à l’intérieur du contour et le coefficient β de la charge excentrée (Expressions (6.39) et (6.51), k du Tableau 6.1).

4. Ce qu’il faut retenir

Un moment en pied de poteau déplace la résultante des pressions du sol : il faut vérifier l’excentrement avec le poids le plus faible (γ_G = 1,00), et la pression avec le poids le plus fort (γ_G = 1,35).
Le poids propre de la semelle compte pour l’excentrement et la pression sur le sol, mais pas pour le moment des armatures : il est équilibré par une réaction uniforme.
La méthode calcule un moment fléchissant dans une section à 0,35 a de l’axe du poteau, à partir des seules réactions du sol situées au-delà de cette section ; deux formules s’appliquent selon que la zone comprimée 2c dépasse ou non la distance L.
L’ancrage des barres doit être vérifié séparément, à la distance h/2 du bord : selon la longueur droite réellement disponible, des crochets peuvent être nécessaires même si la section d’acier est suffisante.
Avec un moment, le poinçonnement n’est plus uniforme le long du contour : l’Eurocode 2 le traduit par le coefficient β.

5. Références

Règles BAEL 91 révisées 99 (DTU P 18-702) : A.2.1,12, A.3.3,21, A.4.3,2, A.4.3,41 et A.4.3,42 (flexion simple, diagramme rectangulaire simplifié), A.5.2,42 (poinçonnement), A.6.1,1, A.6.1,21, A.6.1,221 et A.6.1,222 (adhérence, scellement), A.7.2,5, B.9.0, B.9.1,1 et B.9.1,2 (fondations excentrées, ancrage des barres).
NF EN 1992-1-1 (Eurocode 2) et son annexe nationale : Tableau 3.1, 3.1.6, 3.1.7 (3), 3.2.2 (3)P, 6.1, 6.4.2 à 6.4.5 (poinçonnement, Expressions (6.38) à (6.41) et (6.47) à (6.51), Tableau 6.1), 8.2 (2), 8.4.2 à 8.4.4, 8.8, 9.8.2.1 et 9.8.2.2 (semelles de fondation de poteaux ou de voiles, ancrage des barres).
NF EN 1990 et annexe nationale (Tableau A1.2(B)) ; NF EN 1991-1-1 (Tableau A.1).
NF P 94-261 (fondations superficielles) : 9.5 (charges excentrées), 10.1 (glissement), Annexe G (modèle de Meyerhof, répartition linéaire), 13.3 (excentrement à l’ELS, non vérifié par la feuille).
FD P18-717 : 9.8.2 (I) (pression sur le sol, figure 37). NF DTU 13.1 P1-1 (2019) : 9.2 et 9.3. Le DTU 13.12 est annulé.

NEOPEDIA · en pratique

Sur les semelles excentrées, nos ingénieurs vérifient systématiquement que l’excentricité retenue intègre bien tous les effets du second ordre (flambement) identifiés par le calcul de stabilité de forme, que le jeu de coefficients à poids réduit a été examiné, et que la vérification au glissement n’est pas oubliée lorsque l’effort horizontal en tête de poteau est significatif.

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6. Feuille de calcul