Semelle isolée sous poteau : comment la dimensionner par la méthode des bielles ?

Semelle isolée sous poteau : comment la dimensionner par la méthode des bielles ?

La semelle isolée est la fondation la plus courante des bâtiments : un bloc de béton armé qui étale la charge d’un poteau sur une surface de sol suffisante. Sa justification tient en quatre questions : le sol supporte-t-il la pression ? la semelle est-elle assez épaisse pour fonctionner en « semelle » ? quelle section d’acier faut-il en partie basse ? le poteau risque-t-il de poinçonner la semelle ? Cet article répond à ces questions avec la méthode des bielles, puis déroule l’exemple dans une feuille de calcul modifiable.

1. Le problème : transmettre une charge concentrée à un sol qui ne supporte qu’une pression limitée

Un poteau de 30 cm de côté chargé à 900 kN exerce sur sa section une contrainte de 10 MPa, alors qu’un bon sol n’admet que quelques dixièmes de mégapascal. La semelle joue le rôle d’un « pied » : elle répartit la charge sur une surface a’ × b’ choisie pour que la pression p = N / (a’ b’) reste inférieure à la contrainte de calcul du sol q_s. Sous cette pression, la semelle se comporte comme une console renversée de part et d’autre du poteau : sa face inférieure est tendue et doit être armée, et le poteau tend à traverser la semelle en formant un cône de rupture, ce qu’on appelle le poinçonnement.

2. Le mécanisme : des bielles de béton et un tirant d’acier

On note N_u la charge pondérée du poteau à l’état limite ultime, a × b la section du poteau, a’ × b’ la surface de la semelle, h sa hauteur totale et d sa hauteur utile (distance entre la face supérieure et le lit d’aciers inférieur). Lorsque la semelle est suffisamment épaisse, la charge descend du poteau vers le sol par des bielles de béton comprimé inclinées, qui partent de la base du poteau et s’appuient sur la face inférieure de la semelle. Ces bielles ont une composante horizontale qui tend à écarter les deux bords de la semelle : elle est équilibrée par un tirant, c’est-à-dire par le lit d’aciers inférieur. La section d’acier se déduit directement de l’équilibre d’une bielle :

A_a = N_u (a’ − a) / (8 d f_ed)    dans la direction a’, et de même A_b = N_u (b’ − b) / (8 d f_ed) dans la direction b’,

où f_ed = f_e/γ_s est la contrainte de calcul de l’acier. Cette méthode, dite « des bielles », n’est valable que si la semelle est assez rigide pour que les bielles puissent se former : il faut d ≥ (a’ − a)/4 et d ≥ (b’ − b)/4, c’est-à-dire une hauteur utile au moins égale à la moitié du débord (a’ − a)/2. Si la semelle est plus mince, elle fléchit comme une plaque et se calcule autrement ; si elle est très épaisse (h au moins égal à a’ − a, soit deux fois le débord), c’est un massif et le tirant n’est plus nécessaire.

3. Les étapes de la justification

• Pression sur le sol : on compare la pression sous la semelle, calculée avec la charge ELU du poteau augmentée du poids propre de la semelle, à la contrainte de calcul du sol q_s.
• Conditions géométriques : d ≥ max(a’ − a ; b’ − b)/4 pour que la méthode des bielles s’applique, et h < max(a’ − a ; b’ − b) pour rester dans le domaine des semelles et non des massifs.
• Armatures inférieures dans chaque direction par la méthode des bielles ; les aciers du second lit, posés sur le premier, ont une hauteur utile réduite d_b = d − (φ_a + φ_b)/2 (un diamètre pour des barres identiques), et la feuille calcule A_b avec d_b. L’exemple traité ici conserve la même hauteur utile dans les deux directions et trouve 9,24 cm², soit 6 HA 14 dans chaque sens. Avec la hauteur utile réduite, le second lit demande 9,79 cm² : les 6 HA 14 (9,24 cm²) ne suffisent plus et il faut 7 HA 14 (10,78 cm²). La feuille, chargée avec les données de l’exemple, signale donc volontairement ce manque au second lit.
• Ancrage des barres : selon la longueur de scellement l_s comparée aux dimensions de la semelle, les barres reçoivent des crochets, sont prolongées droites jusqu’aux bords, ou peuvent être arrêtées avant. La traction existant dans les deux sens, l’exemple traité ici majore l_s de 25 % avant la comparaison : l’_s = 1,25 l_s > a’/4 conduit aux crochets, a’/8 < l’_s ≤ a’/4 à des barres droites prolongées jusqu’aux bords, l’_s ≤ a’/8 à un arrêt possible avant les bords (et de même avec b’). Aucun seuil chiffré ne permet de se contenter d’un crochet sur une barre sur deux : ce choix relève du dessin d’exécution.
• Poinçonnement : la partie de la charge située hors du cône à 45° issu du poteau, N_R, doit rester inférieure à la résistance offerte par le contour de poinçonnement à mi-hauteur u_c = 2 (a + b + 2h) : N_R ≤ 0,045 u_c h f_c28/γ_b (BAEL A.5.2,42). L’exemple traité ici utilise une variante qui tient compte des aciers, (0,033 + ρ₁) d u_c f_c28 ; la feuille l’affiche pour information, mais son verdict applique la formule du BAEL.

Notations

4. Ce qu’il faut retenir

• La surface de la semelle vient du sol (p ≤ q_s), son épaisseur vient de la rigidité (d ≥ (a’ − a)/4, soit la moitié du débord) et du poinçonnement, ses aciers viennent de la méthode des bielles.
• Le poids propre de la semelle compte pour le sol, mais pas pour les aciers : il descend directement sur le sol sans passer par les bielles.
• Une semelle rectangulaire a deux ferraillages différents, et le second lit perd environ un diamètre de hauteur utile : sur l’exemple, cela suffit à faire passer le second lit de 6 à 7 HA 14.
• Les crochets ne sont pas systématiques : ils dépendent de la longueur de scellement comparée à la dimension de la semelle.
• Le poinçonnement devient dimensionnant pour les semelles minces sous forte charge ; l’épaisseur est souvent fixée par lui plutôt que par la flexion.

5. Références

• Règles BAEL 91 révisées 99 (DTU P 18-702) : ancrage des barres, poinçonnement (A.5.2,42), dispositions constructives des semelles ; DTU 13.12 : règles pour le calcul des fondations superficielles.
• NF EN 1992-1-1 (Eurocode 2) : §6.4 (poinçonnement, y compris semelles §6.4.4(2)), §6.5 (bielles et tirants), §8.4 (ancrage des armatures) ; NF EN 1997-1 (Eurocode 7) pour la portance du sol ; annexes nationales françaises. Branche ajoutée par NEOPEDIA en transposition de l’exemple traité ici, établi selon les règles BAEL 91 et le DTU 13.12.

6. Feuille de calcul