Semelle isolée sous poteau : comment la dimensionner par la méthode des bielles ?

Semelle isolée sous poteau : comment la dimensionner par la méthode des bielles ?

La semelle isolée est un bloc de béton armé qui étale la charge d’un poteau sur une surface de sol suffisante. Sa justification tient en quatre questions : le sol supporte-t-il la pression ? la semelle est-elle assez épaisse pour fonctionner en « semelle » ? quelle section d’acier faut-il en partie basse ? le poteau risque-t-il de poinçonner la semelle ? Cet article répond à ces questions avec la méthode des bielles, puis déroule l’exemple dans une feuille de calcul modifiable.

1. Le problème : transmettre une charge concentrée à un sol qui ne supporte qu’une pression limitée

Un poteau de 30 cm de côté chargé à 900 kN exerce sur sa section une contrainte de 10 MPa, alors que la contrainte de calcul du sol de l’exemple traité ici vaut 0,7 MPa (7 bar), soit environ quatorze fois moins.

La semelle joue le rôle d’un « pied » : elle répartit la charge sur une surface a’ × b’ choisie pour que la pression reste inférieure à la contrainte de calcul du sol q_s :

Sous cette pression, la semelle se comporte comme une console renversée de part et d’autre du poteau :

• sa face inférieure est tendue et doit être armée ;
• le poteau tend à traverser la semelle en formant un cône de rupture, ce qu’on appelle le poinçonnement.

2. Le mécanisme : des bielles de béton et un tirant d’acier

Notations de base

• N_u : charge pondérée du poteau à l’état limite ultime ;
• a × b : section du poteau ;
• a’ × b’ : surface de la semelle ;
• h : hauteur totale de la semelle ;
• d : hauteur utile (distance entre la face supérieure et le lit d’aciers inférieur).

Bielles et tirant

Lorsque la semelle est suffisamment épaisse, la charge descend du poteau vers le sol par des bielles de béton comprimé inclinées, qui partent de la base du poteau et s’appuient sur la face inférieure de la semelle.

Ces bielles ont une composante horizontale qui tend à écarter les deux bords de la semelle : elle est équilibrée par un tirant, c’est-à-dire par le lit d’aciers inférieur.

La section d’acier se déduit directement de l’équilibre d’une bielle :

Domaine de validité

Cette méthode, dite « des bielles », n’est valable que si la semelle est assez rigide pour que les bielles puissent se former :

• Le FD P18-717 (9.8.2 (II)), guide d’application de l’Eurocode 2, fixe le domaine d₀/2 ≤ d ≤ 2 d₀, d₀ étant le débord, soit (a’ − a)/4 ≤ d ≤ a’ − a dans chaque direction, avec la hauteur utile du lit concerné. L’épaisseur est au moins égale à 6 cm plus 6 fois le diamètre des barres. Hors de ce domaine, la semelle se calcule par la méthode des poutres ou des dalles (NF EN 1992-1-1, 9.8.2.2) ou par un modèle bielles et tirants (6.5).
• Les Règles BAEL (B.9.3) admettent la méthode des bielles pour les semelles sous points d’appui isolés, sans en fixer le domaine. Par sécurité, la feuille applique aussi en mode BAEL les limites du FD P18-717, qui portent sur la même méthode : elle écarte ainsi les semelles trop minces ou trop épaisses pour que les bielles se forment, cas que le BAEL laisserait sans garde-fou.

3. Les étapes de la justification

1. Pression sur le sol : on compare la pression sous la semelle, calculée avec la charge ELU du poteau augmentée du poids propre de la semelle, à la contrainte de calcul du sol q_s. Le FD P18-717 (9.8.2 (I)) déduit p de la résultante des forces au niveau du contact avec le sol : le poids des terres éventuellement placées sur la semelle en fait partie. La feuille suppose une semelle sans remblai et ne le compte pas.
2. Domaine d’emploi :
   • dans les deux modes, conditions du FD P18-717 : (a’ − a)/4 ≤ d ≤ a’ − a, (b’ − b)/4 ≤ d_b ≤ b’ − b et h ≥ 6 cm + 6 φ ;
   • en Eurocode 2, en plus, φ ≥ 8 mm (NF EN 1992-1-1, 9.8.2.1) ;
   • hors du champ de la feuille, donc refusés : diamètres supérieurs à 40 mm (barres de gros diamètre, NF EN 1992-1-1, 8.8 et AN), f_e hors de 400 à 500 MPa en BAEL (aciers à haute adhérence Fe E 400 et Fe E 500, ψ_s = 1,5), f_yk hors de 400 à 500 MPa en Eurocode 2 (3.2.2 (3)P et AN : au-delà de 500 MPa, justification à l’ELS que la feuille ne fait pas) et poids volumique du béton armé inférieur à 25 kN/m³ (NF EN 1991-1-1, Tableau A.1).
3. Armatures inférieures dans chaque direction par la méthode des bielles. Les aciers du second lit, posés sur le premier, ont une hauteur utile réduite (un diamètre pour des barres identiques) :
   d_b = d − (φ_a + φ_b)/2

   La feuille calcule A_b avec d_b. Dans l’exemple traité ici :

   • le premier lit (d = 0,400 m) demande 5,77 cm² et reçoit 6 HA 12 (6,79 cm²) ;
   • le second lit (d_b = 0,388 m) demande 5,95 cm², environ 3 % de plus, et reçoit aussi 6 HA 12 ;
   • si l’on conservait la même hauteur utile dans les deux directions, on trouverait 5,77 cm² au second lit et l’on sous-estimerait ce besoin.
4. Ancrage des barres : selon la longueur d’ancrage comparée aux dimensions de la semelle, les barres reçoivent des crochets, sont prolongées droites jusqu’aux bords, ou peuvent être en partie raccourcies.
   • BAEL : la feuille calcule la longueur de scellement droit l_s = φ f_e/(4 τ_su), avec τ_su = 0,6 ψ_s² f_t28 et ψ_s = 1,5 (A.6.1,21 et A.6.1,221), soit 44 φ pour f_c28 = 25 MPa et f_e = 500 MPa, puis la compare aux seuils a’/4 et a’/8 du FD P18-717 décrits ci-dessous. Le BAEL ne fixant pas de règle d’arrêt des barres propre aux semelles, ces seuils sont repris par sécurité : ils imposent des crochets ou des barres filantes dès que l’ancrage est long par rapport à la semelle.
   • Eurocode 2 : le FD P18-717 compare la longueur d’ancrage de calcul l_bd, sans majoration : l_bd > a’/4, crochets sur toutes les barres ; a’/8 < l_bd ≤ a’/4, toutes les barres droites ; l_bd ≤ a’/8, barres droites, la moitié sur toute la largeur et l’autre moitié sur 0,75 a’ centrée. Si poteau et semelle ne sont pas homothétiques, a’ est remplacé par 0,8 a’.
5. Poinçonnement : l’article A.5.2,42 du BAEL, appliqué tel qu’il est écrit, compare la charge de calcul du poteau, entière, à la limite du contour au feuillet moyen (A.3.2,5), sans déduire la réaction du sol :
   Q_u = N_u ≤ 0,045 u_c h f_c28/γ_bu_c = 2 (a + b + 2h) : contour de poinçonnement à mi-hauteur

   Sur l’exemple : u_c = 3,00 m et 0,045 × 3,00 × 0,45 × 25/1,5 = 1 013 kN ≥ 893 kN (taux 0,88). C’est cette vérification qui fixe l’épaisseur de 0,45 m : avec h = 0,30 m, la limite tombe à 540 kN. Le commentaire du même article précise que « cette limite ne tient pas compte de l’effet favorable dû à la présence d’un ferraillage horizontal » et qu’elle « peut être majorée sous réserve des justifications correspondantes », jusqu’à (0,05 + 1,5 ρ_l) d u_c f_c28/γ_b ; la feuille l’affiche pour information, sans l’utiliser pour le verdict. Si le contour u_c sort de la semelle, la charge n’est plus « éloignée des bords » et la feuille déclare la vérification non applicable. En Eurocode 2, la feuille vérifie la bielle au nu du poteau puis les contours situés au plus à 2d (6.4) ; un contour qui atteint un bord est tronqué : seules sa partie intérieure à la semelle et l’aire réellement dans la semelle sont retenues.

Notations

4. Ce qu’il faut retenir

• La surface de la semelle vient du sol (p ≤ q_s), son épaisseur vient de la rigidité (d ≥ (a’ − a)/4, soit la moitié du débord) et du poinçonnement, ses aciers viennent de la méthode des bielles.
• Le poids propre de la semelle compte pour le sol, mais pas pour les aciers : il descend directement sur le sol sans passer par les bielles.
• Les deux lits n’ont pas la même hauteur utile : le second perd environ un diamètre. Sur l’exemple, il demande 5,95 cm² contre 5,77 cm² au premier. Dans une semelle rectangulaire, s’y ajoute la différence des débords.
• Les crochets ne sont pas systématiques : ils dépendent de la longueur de scellement comparée à la dimension de la semelle.
• Le poinçonnement se vérifie : sur l’exemple, le taux vaut 0,88 en BAEL (A.5.2,42, charge entière) et le taux le plus élevé vaut 0,52 en Eurocode 2 (bielle au nu du poteau). Le FD P18-717 indique que d ≥ d₀/2 dispense « en général » de cette vérification, sauf fortes contraintes au contact du sol.

5. Références

• Règles BAEL 91 révisées 99 (DTU P 18-702) : A.2.1,12 (f_t28), A.5.2,42 (poinçonnement), A.6.1,21 et A.6.1,221 (ancrage), A.7.1 (enrobage), B.9.2 et B.9.3 (fondations). NF DTU 13.1 P1-1 (septembre 2019), fondations superficielles, exécution : §1, §9.2 et §9.3 ; il remplace le DTU 13.12, annulé.
• NF EN 1992-1-1 (Eurocode 2) et son annexe nationale : §6.4 (poinçonnement, y compris semelles §6.4.4(2)), §8.4 (ancrage des armatures), §9.8.2 (semelles). FD P18-717 (guide d’application), 9.8.2 (I) et (II) : méthode des bielles, domaine d’emploi et arrêt des barres. NF P 94-261 (fondations superficielles) : origine de la contrainte q_s, dont la feuille ne calcule pas la valeur.

6. Feuille de calcul