Semelle filante et mur non centrés : largeur

Semelle filante et mur non centrés : largeur fictive et pression sur le sol

Article NC-02-13-04-02 · Référentiels : BAEL 91 révisé 99 et Eurocode 2 (NF EN 1992-1-1 et annexe nationale, guide FD P18-717), largeur fictive selon le modèle de Meyerhof de la NF P 94-261 · Niveau : jeune ingénieur structure

Il arrive qu’un mur ne puisse pas être centré sur sa semelle : limite de propriété, joint de construction, décalage architectural. Tant que le plus petit débord reste suffisant, on continue à utiliser la méthode des bielles ordinaire en raisonnant sur une largeur fictive de semelle, centrée sur la résultante des charges (pratiquement sur le mur), égale à deux fois le plus petit débord augmenté d’une demi-épaisseur de mur. Au-delà, le diagramme de sol se décale et l’excentricité qui en résulte doit être équilibrée par le mur lui-même ou par une longrine de redressement.

Avertissement : exemple de calcul à but pédagogique

Cette page présente un exemple de calcul destiné à l’apprentissage de la justification élémentaire des éléments de structure. Elle ne constitue pas un outil de dimensionnement d’ouvrages réels, et les résultats ne sont pas vérifiés pour un projet donné. Elle couvre deux cas : le cas sans excentricité (largeur fictive centrée sur la résultante des charges) et le cas avec excentricité, où le diagramme de sol est élargi et le moment d’excentrement reste à reprendre par le mur ou par une longrine ; la feuille bascule de l’un à l’autre selon que la largeur fictive suffit ou non à ramener la pression sous q_s. Le calcul de la longrine de redressement et de sa torsion n’est pas repris : voir Semelle isolée équilibrant un moment fléchissant pour le principe du diagramme de pression excentré, et Longrine de redressement rigide pour le calcul complet d’une longrine.

NEOGENESIS décline toute responsabilité quant à l’utilisation de ces calculs dans des projets qui ne sont pas contrôlés par NEOGENESIS. Le seul moyen d’engager notre responsabilité est de faire valider ces calculs par nos ingénieurs dans le cadre d’une mission de contrôle technique.

1. Le problème : un mur décentré ne peut pas se calculer comme une semelle ordinaire

La méthode des bielles suppose une semelle centrée sur son mur, avec une pression uniforme sur toute sa largeur.

Dès que le mur est décalé, l’un des débords devient plus petit que l’autre : si l’on continue à utiliser la largeur réelle de la semelle pour évaluer la pression, on la sous-estime du côté du petit débord, là où le sol est en réalité le plus sollicité.

2. Le mécanisme : une largeur fictive centrée sur la résultante des charges, dérivée du plus petit débord

Le modèle de Meyerhof

La charge du mur est appliquée à la distance d₁ + a/2 du bord le plus proche, soit avec un excentrement e_sol = a’/2 − (d₁ + a/2) par rapport au milieu de la semelle. Pour une semelle filante chargée avec un excentrement e, le modèle de Meyerhof (NF P 94-261, Annexe G.2 ; FD P18-717, 9.8.2 (I)) suppose une répartition uniforme des contraintes sur une largeur réduite, centrée sur la résultante :

B’ = a’ − 2 e_sol = 2C avec C = x_R = [N_u (d₁ + a/2) + 1,35 W a’/2] / N_sol
p = N_sol / (2C) ≤ q_sN_sol = 1,35 (G + poids de la semelle) + 1,5 Q, par mètre de mur

C’est la largeur fictive : deux fois la distance du bord le plus proche à la résultante des charges. Elle est toujours inférieure ou égale à la largeur réelle a’.
Le béton situé au-delà, du côté du grand débord, n’est pas compté dans le calcul des bielles ; il doit rester correctement ancré pour ne pas se dissocier du reste de la semelle.
La résultante x_R réunit la charge du mur, à d₁ + a/2 du bord, et le poids propre pondéré de la semelle 1,35 W, au milieu de la semelle réelle. Sans couple extérieur, l’équilibre des moments impose que la réaction du sol passe par ce point : prendre la réaction à l’axe du mur en oublierait le bras de levier du poids propre.
La NF P 94-261 (9.5) demande en outre 1 − 2 e_sol/a’ ≥ 1/15 pour une semelle filante en situation durable, et des précautions spéciales au-delà de e_sol = a’/3.

Cas sans excentricité : les bielles sur la largeur fictive

Si p ≤ q_s, la semelle fictive de largeur 2C, pratiquement centrée sur le mur, se calcule comme une semelle filante centrée (FD P18-717, 9.8.2 (II)) :

A = N_u (2C − a) / (8 d f_ed)N_u = 1,35 G + 1,5 Q, sans le poids de la semelle, qui ne transite pas par les bielles ; f_ed = f_e/1,15 (f_yd = f_yk/1,15 en Eurocode 2)

(2C − a)/4 ≤ d ≤ 2C − a et h ≥ 6 cm + 6 φdomaine d’emploi de la méthode des bielles, FD P18-717 ; en Eurocode 2, φ ≥ 8 mm (9.8.2.1)

Cas avec excentricité : un diagramme de sol décalé

Si la pression sur la largeur fictive dépasse q_s, on élargit le diagramme de sol jusqu’à C = N_sol/(2 q_s), dans la limite de a’/2. La réaction n’est plus alignée avec la charge : l’excentricité e = C − x_R crée un moment N_sol × e (charge du mur et poids de la semelle) que le mur (flexion composée en pied) ou une longrine de redressement doit équilibrer (BAEL B.9.1,1 ; FD P18-717, 9.8.3). La semelle se calcule alors comme une console en flexion :

L = 2C − d₁ − 0,85 a ; M = (p − g_u) L²/2 ; A = M / (z f_ed) ≥ A_ming_u = 1,35 γ_b h : poids propre pondéré de la semelle par m² ; z = d (1 − 0,4 α) : bras de levier exact du diagramme rectangulaire

La section de calcul est prise à 0,15 a en deçà du nu du mur, côté grand débord : hypothèse de la feuille, du côté de la sécurité par rapport à la section au nu du mur.
μ = M/(b d² f_bu) doit rester inférieur à μ_R, sinon des aciers comprimés seraient nécessaires et la feuille s’arrête.
A_min : condition de non-fragilité (BAEL A.4.2,1, appliquée selon sa définition) ou section minimale 0,26 f_ctm b d/f_yk (NF EN 1992-1-1, 9.2.1.1 et annexe nationale), la semelle étant alors calculée par la méthode des poutres.
Le moment d’excentrement N_sol × e n’est pas vérifié par la feuille : son verdict reste « calcul incomplet » dans ce cas.

Fig. 1 : semelle filante décentrée. Le diagramme de sol (en bleu) a la largeur fictive 2C ; il est centré sur le mur dans le cas sans excentricité, décalé vers le grand débord dans le cas avec excentricité. Les cotes se mettent à jour avec la feuille de calcul.

3. Les étapes de la justification

Charges et largeur du diagramme de sol : N_sol, N_u, résultante x_R, puis C élargi si nécessaire, dans la limite de a’/2 ; excentricité e.
Pression sur le sol et excentrement : p = N_sol/(2C) ≤ q_s et 1 − 2 e_sol/a’ ≥ 1/15, avec e_sol ≤ a’/3 (NF P 94-261, 9.5 ; au-delà, précautions spéciales non traitées : verdict défavorable).
Domaine de validité et armatures : méthode des bielles sur la largeur fictive (cas sans excentricité) ou moment dans la section la plus sollicitée et calcul en flexion simple (cas avec excentricité).
Ancrage aux deux extrémités : longueur de scellement l_s (BAEL) ou longueur d’ancrage l_bd (Eurocode 2) ; côté petit débord, règle du FD P18-717 (crochets si l_s > 2C/4) ; côté grand débord, barre droite si la longueur disponible au-delà de la largeur fictive, enrobage déduit, atteint l_s.
Moment d’excentrement N_sol × e à reprendre par le mur ou par une longrine, non vérifié (cas avec excentricité).
Poinçonnement (BAEL A.5.2,42, charge entière du mur, contour de 2 m par mètre, non applicable si le contour au feuillet moyen sort de la semelle) ou effort tranchant à la distance d du nu du mur, côté grand débord (NF EN 1992-1-1, 6.2.1 (8) et 6.2.2).

Données refusées par la feuille (hors de son champ)

d₁ qui n’est pas le plus petit débord (2 (d₁ + a/2) > a’) ; largeur de semelle inférieure à 40 cm ou hauteur inférieure à 20 cm, béton de classe inférieure à C25/30, enrobage inférieur à 30 mm au-dessus du béton de propreté (NF DTU 13.1 P1-1, 9.2 et 9.3) ;
f_e ou f_yk hors de 400 à 500 MPa (BAEL A.6.1,221 ; NF EN 1992-1-1, 3.2.2 (3)P et annexe nationale) ; diamètres supérieurs à 40 mm (8.8 et annexe nationale) ou non entiers ; distance libre entre barres inférieure à max(φ ; 20 mm) (BAEL A.7.2,5 ; NF EN 1992-1-1, 8.2) ;
poids volumique du béton armé inférieur à 25 kN/m³ (NF EN 1991-1-1, Tableau A.1).

Notations

a, a’	épaisseur du mur, largeur réelle de la semelle
d₁	le plus petit des deux débords, mesuré au nu du mur
C, 2C	demi-largeur et largeur du diagramme de sol (largeur fictive) : C = x_R s’il n’y a pas d’excentricité, C = N_sol/(2 q_s) ≤ a’/2 sinon
e, e_sol	excentricité entre la charge et la réaction du sol, e = C − x_R ; excentrement de la réaction par rapport au milieu de la semelle, e_sol = a’/2 − C
L, g_u	portée de calcul du moment, L = 2C − d₁ − 0,85 a ; poids propre pondéré de la semelle par m², g_u = 1,35 γ_b h
h, e, d	hauteur totale de la semelle, distance de l’axe des aciers à la sous-face, hauteur utile (d = h − e)
G, Q	charges permanente (hors poids de la semelle) et d’exploitation du mur, par mètre linéaire
N_u, N_sol	charge pondérée du mur (1,35 G + 1,5 Q) ; charge pondérée au contact du sol, poids de la semelle compris
q_s	contrainte de calcul du sol à l’état limite ultime (valeur q du FD P18-717, obtenue selon la NF P 94-261)
A, A_min	section d’aciers transversaux par mètre de mur et section minimale (cas avec excentricité)
l_s, l_bd	longueur de scellement droit (BAEL) ; longueur d’ancrage de calcul (Eurocode 2)

L’exemple traité

Sans excentricité	a = 0,20 m, d₁ = 0,70 m, a’ = 1,80 m, h = 0,45 m, e = 5 cm (d = 0,40 m), G = 180 kN/m, Q = 100 kN/m, q_s = 3 bar, béton C25/30, acier 500 MPa, 6 HA 10 par mètre
Avec excentricité (second exemple)	a = 0,20 m, d₁ = 0,20 m, a’ = 1,40 m, h = 0,60 m (d = 0,55 m), G = 175 kN/m, Q = 100 kN/m, q_s = 3 bar, béton C25/30, acier 500 MPa, 10 HA 10 par mètre

Sans excentricité, BAEL 91. N_sol = 420 kN/m, N_u = 393 kN/m ; axe du mur à 0,80 m du bord, poids de la semelle (27,3 kN/m pondéré) à 0,90 m : C = x_R = (393 × 0,80 + 27,3 × 0,90)/420 = 0,807 m, 2C = 1,613 m ; p = 2,61 bar ≤ 3 bar ; 1 − 2 e_sol/a’ = 0,90 ≥ 0,067 ; d = 0,40 m dans le domaine [0,35 ; 1,41] ; A = 0,393 × 1,413/(8 × 0,40 × 435) = 3,99 cm²/m, 6 HA 10 = 4,71 cm²/m ; l_s = 44 φ = 44 cm > 2C/4 = 40 cm et longueur disponible au-delà de la largeur fictive 14 cm : crochets aux deux extrémités ; poinçonnement 393 kN/m ≤ 675 kN/m (taux 0,58).

Sans excentricité, Eurocode 2. Mêmes résultats pour le sol, le domaine et A ; l_bd = 40,4 φ = 40,4 cm > 2C/4 = 40,3 cm, de justesse : crochets ; effort tranchant à d du nu du mur, côté grand débord : V_Ed = 82 kN/m ≤ V_Rd,c = 156 kN/m (taux 0,52).

Avec excentricité, dans les deux modes. N_sol = 415 kN/m, N_u = 386 kN/m ; x_R = 0,327 m donne p = 6,3 bar > 3 bar : C = 0,415/(2 × 0,30) = 0,691 m, 2C = 1,38 m, e = C − x_R = 0,364 m, p = 3,00 bar ; L = 1,01 m, g_u = 20,3 kN/m², M = 143 kN·m/m ; BAEL : μ = 0,033, z = 0,541 m, A = 6,09 cm²/m ≥ A_min = 5,09 cm²/m ; Eurocode 2 : μ = 0,028, A = 6,08 cm²/m mais A_min = 7,34 cm²/m, qui gouverne ; 10 HA 10 = 7,85 cm²/m ; crochets côté petit débord, barres droites côté grand débord ; moment d’excentrement N_sol × e = 151 kN·m/m à reprendre par le mur ou une longrine, non vérifié ; en BAEL, le contour de poinçonnement au feuillet moyen sort de la semelle côté petit débord (d₁ − h/2 < 0) : vérification non applicable ; verdict « calcul incomplet ».

BAEL 91 et Eurocode 2 : un principe géométrique commun, des vérifications de section différentes

1. Ce qui ne change pas

La largeur fictive est un principe de statique (modèle de Meyerhof, NF P 94-261, Annexe G.2), valable quel que soit le référentiel de vérification des sections. La formule des bielles et son domaine d’emploi viennent du FD P18-717 (9.8.2 (II)), que les Règles BAEL admettent (B.9.3) sans en fixer le domaine : la feuille applique ces limites dans les deux modes, par sécurité en BAEL. f_yd = f_yk/1,15 est égal à f_ed.

2. Ce qui change

Calcul en flexion (cas avec excentricité) : f_bu = 0,85 f_c28/1,5 (A.4.3,41) contre f_cd = f_ck/1,5 (α_cc = 1, annexe nationale) ; section minimale par la non-fragilité A.4.2,1 contre 0,26 f_ctm b d/f_yk (9.2.1.1).
Ancrage : l_s = φ f_e/(4 τ_su), τ_su = 0,6 ψ_s² f_t28 (A.6.1,21 et A.6.1,221), soit 44 φ pour un C25/30 et des aciers Fe E 500, contre l_bd = (φ/4)(f_yd/f_bd), f_bd = 2,25 η₁ η₂ f_ctd (8.4.2 à 8.4.4), soit environ 40 φ.
Poinçonnement ou effort tranchant : A.5.2,42 appliqué à une bande de 1 m de mur avec la charge entière (hypothèse de la feuille, l’article visant une charge localisée sur une dalle), contre l’effort tranchant à d du nu du mur (6.2.1 (8), 6.2.2), avec ρ_l compté seulement si les barres sont prolongées de l_bd + d au-delà de la section.

3. À signaler explicitement

Le DTU 13.12 est annulé et remplacé par le NF DTU 13.1 (septembre 2019), qui traite de l’exécution et renvoie aux Eurocodes pour le dimensionnement ; la feuille en reprend les exigences qui la concernent (enrobage de 30 mm au-dessus du béton de propreté, C25/30, hauteur d’au moins 20 cm, largeur d’au moins 40 cm, chaînage de 1,5 cm² non vérifié ici). Le poids propre de la semelle est compté dans la pression et dans la position de la résultante (au milieu de la semelle réelle) ; il est déduit de la réaction pour le moment de flexion et ne transite pas par les bielles. Le bouton en tête de la feuille bascule d’un référentiel à l’autre.

4. Ce qu’il faut retenir

Tant que le décalage reste modéré, une largeur fictive centrée sur la résultante des charges, dérivée du plus petit débord, suffit à rester dans le cadre de la méthode des bielles ordinaire : c’est la largeur effective B’ = a’ − 2e du modèle de Meyerhof.
Le béton situé au-delà de la largeur fictive n’intervient pas dans le calcul des bielles ; il doit néanmoins être correctement ancré, ou disposer d’une longueur suffisante pour se passer de crochets.
Si la pression sur la largeur fictive dépasse q_s, le diagramme de sol s’élargit et introduit une excentricité e : les armatures se calculent par le moment M = (p − g_u) L²/2, et le couple N_sol × e doit en outre être équilibré par le mur ou par une longrine de redressement, dont le calcul ne figure pas sur cette page.

5. Références

NF P 94-261 (fondations superficielles) : Annexe G.2 (modèle de Meyerhof, B’ = B − 2e), 9.5 (charges excentrées) ; origine de la contrainte q_s, dont la feuille ne calcule pas la valeur.
Règles BAEL 91 révisées 99 (DTU P 18-702) : A.2.1,12, A.4.2,1 (non-fragilité), A.4.3,41 et A.4.3,42 (flexion), A.5.2,42 (poinçonnement), A.6.1,21 et A.6.1,221 (ancrage), A.7.2,5 (espacement), B.9.1,1 (fondations excentrées), B.9.3 (méthode des bielles). NF DTU 13.1 P1-1 (septembre 2019) : §1, §9.2 et §9.3 ; il remplace le DTU 13.12, annulé.
NF EN 1992-1-1 (Eurocode 2) et son annexe nationale : Tableau 3.1, §3.1.6, §3.1.7, §6.2, §8.2, §8.4, §9.2.1.1, §9.8.2. FD P18-717 (guide d’application), 9.8.2 (I) et (II) (réaction du sol, méthode des bielles), 9.8.3 (longrines de redressement).

NEOPEDIA · en pratique

Sur les semelles filantes en limite de propriété ou décalées par rapport à leur mur, nos ingénieurs vérifient systématiquement que la largeur fictive retenue reste cohérente avec la largeur réelle disponible, que le moment d’excentrement est bien repris par le mur ou par une longrine, et que le débord non comptabilisé reste correctement ancré plutôt que simplement laissé de côté dans le calcul.

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6. Feuille de calcul