Bâtiment régulier : effort sismique à la base selon l’Eurocode 8 et le RPS 2011

Eurocode 8 et RPS 2011 : effort tranchant sismique à la base d’un bâtiment régulier contreventé par voiles

Pour un bâtiment régulier en élévation dont la réponse est gouvernée par le mode fondamental, l’Eurocode 8 autorise une analyse simplifiée dite « par forces latérales ». L’action sismique y est représentée, dans chaque direction, par un effort tranchant à la base calculé à partir de la période fondamentale et du spectre de calcul, puis réparti sur la hauteur au prorata du produit hauteur × masse de chaque niveau. Le règlement marocain RPS 2011 suit le même principe avec son « approche statique équivalente », mais avec ses propres paramètres : coefficient de vitesse de zone, coefficient de site, facteur d’amplification dynamique, coefficient de priorité et facteur de comportement K. Cet article déroule les deux méthodes pour un bâtiment contreventé par voiles en béton, jusqu’à la prise en compte de la torsion, et compare leurs résultats sur un même bâtiment.

1. Le problème : représenter le séisme par des forces statiques équivalentes

La méthode de référence de l’Eurocode 8 est l’analyse modale spectrale (§4.3.3.1 (2)P).

Lorsque la réponse du bâtiment n’est pas affectée de manière significative par les modes supérieurs, une distribution simplifiée de forces horizontales suffit : c’est la méthode des forces latérales (§4.3.3.2.1 (1)P).

Le RPS 2011 distingue de même une approche statique équivalente et une approche dynamique (6.2). L’approche statique équivalente substitue aux efforts dynamiques un système de forces statiques, dont la résultante agit à la base et se répartit sur la hauteur, nulle à la base et maximale au sommet (6.2.1.1).

2. Le mécanisme : domaine, période, coefficient de comportement, spectre

Eurocode 8 : domaine d’emploi de la méthode

La méthode s’applique aux bâtiments qui remplissent les deux conditions suivantes (§4.3.3.2.1 (2)) :

• dans les deux directions, une période fondamentale T₁ ≤ min(4 T_C ; 2,0 s) (expression (4.4)) ;
• les critères de régularité en élévation du §4.2.3.3 : éléments de contreventement continus jusqu’au sommet, raideur et masse constantes ou décroissant progressivement, retraits limités.

La régularité en plan n’est pas une condition de la méthode (Tableau 4.1). Elle conditionne le modèle : deux modèles plans, un par direction, pour un bâtiment régulier en plan (§4.3.1 (5)) ; un modèle spatial sinon, sauf conditions particulières du §4.3.3.1 (8) (en France, simplification exclue pour la catégorie d’importance IV, annexe nationale clause 4.3.3.1 (8)).

Parmi les critères de régularité en plan figure l’élancement de la section en plan :

Les autres critères (symétrie approximative, compacité, raideur des planchers, excentricité structurale et rayon de torsion, §4.2.3.2 (2) à (6)) ne sont pas calculés par la feuille.

Eurocode 8 : période fondamentale

Pour un bâtiment d’au plus 40 m de hauteur (§4.3.3.2.2 (3) et (4)) :

• H : hauteur du bâtiment depuis les fondations ou le sommet d’un soubassement rigide (m) ;
• A_i, l_wi : aire effective et longueur du mur i au premier niveau, dans la direction considérée, avec l_wi/H ≤ 0,9.

Au-delà de 40 m, la feuille ne calcule pas : T₁ se détermine alors par une méthode de dynamique des structures.

Eurocode 8 : coefficient de comportement

Pour un système de murs non couplés régulier en élévation (§5.2.2.2, Tableau 5.1) :

Des voiles courts, plus longs que hauts (α₀ faible), réduisent k_w, donc q, et augmentent les efforts de calcul. La démarche complète fait l’objet de l’article coefficient de comportement q.

La classe de ductilité limitée DCL (q ≤ 1,5, §5.3.3 (1)) n’est pas proposée par la feuille.

Eurocode 8 : spectre de calcul

Pour les composantes horizontales (§3.2.2.5 (4)P) :

• a_g = γ_I a_gR : accélération de calcul sur un sol de classe A (§3.2.1 (3)) ;
• S, T_B, T_C, T_D : paramètres qui dépendent de la classe de sol et du type de spectre ;
• β = 0,2 pour les bâtiments : valeur recommandée, retenue par l’annexe nationale (clause 3.2.2.5 (4)P).

L’EN 1998-1 recommande des valeurs de S, T_B, T_C, T_D (Tableaux 3.2 et 3.3) ; la feuille les propose. En France, l’annexe nationale renvoie à l’Administration pour ces paramètres, pour a_gR et pour γ_I (clauses 3.1.2 (1), 3.2.1 (2), 3.2.2.2 (2)P, 4.2.5 (5)P) : la feuille offre alors une saisie libre.

Eurocode 8 : effort tranchant à la base et distribution verticale

• m : masse totale au-dessus des fondations ou du sommet d’un soubassement rigide, calculée selon le §3.2.4 (2) ;
• λ = 0,85 si T₁ ≤ 2 T_C et si le bâtiment a plus de deux étages ; λ = 1,0 sinon. Un « étage » est un niveau de masse, toiture comprise (note du FD P06-031 intégrée à la norme) ;
• z_i, m_i : hauteur au-dessus du niveau d’application de l’action sismique et masse du niveau i. L’expression (4.11) suppose des déplacements croissant linéairement avec la hauteur.

Les forces F_i se répartissent entre les éléments de contreventement en supposant les planchers rigides dans leur plan (§4.3.3.2.3 (4)P).

Eurocode 8 : torsion accidentelle

Lorsque la raideur latérale et la masse sont réparties symétriquement, les effets de la torsion accidentelle peuvent être pris en compte en multipliant les effets dans chaque élément par (§4.3.3.2.4) :

• x : distance en plan de l’élément au centre de masse du bâtiment, mesurée perpendiculairement à la direction du séisme ;
• L_e : distance entre les deux éléments de contreventement extrêmes, mesurée dans la même direction.

Ce coefficient couvre l’excentricité accidentelle de ± 0,05 L_i (§4.3.2).

RPS 2011 : domaine de l’approche statique équivalente

L’approche statique équivalente est admise aux conditions suivantes (6.2.1.2) :

• le bâtiment est régulier ;
• sa hauteur n’excède pas 60 m et sa période fondamentale ne dépasse pas 2 secondes.

Le 6.2.1.2 a) renvoie aux « critères définis dans l’article 4.3 », qui traite en fait du choix du site : les critères de régularité sont ceux du 3.2, que la feuille applique. Deux d’entre eux se calculent à partir des dimensions :

Les autres critères (forme simple et symétrie, saillies a + b ≤ 0,25 B, position du centre de masse par rapport au centre de rigidité, variations de rigidité et de masse d’un étage à l’autre limitées à 30 %, retraits, continuité, résistance au cisaillement de chaque niveau au moins égale à 80 % de celle du niveau supérieur) sont déclarés par l’utilisateur.

Hors de ce domaine, le RPS admet une approche dynamique (6.4.1), non traitée par la feuille.

RPS 2011 : période fondamentale

Pour une ossature autre que les portiques (6.3 c), donc pour un contreventement par voiles :

• H : hauteur totale du bâtiment (m) ;
• L : longueur du mur ou de l’ossature qui constitue le principal système de contreventement, dans la direction du séisme (m) ; à défaut de longueur bien définie, dimension du bâtiment parallèle au séisme.

Une autre méthode de calcul de la période est admise si l’effort sismique obtenu n’est pas inférieur à 0,80 fois celui que donne la période des formules (6.4) à (6.6) (6.3 d).

RPS 2011 : force sismique latérale équivalente

• υ : coefficient de vitesse de la zone (Tableau 5.1) : 0 ; 0,07 ; 0,10 ; 0,13 ; 0,17 pour les zones de vitesse Z_v = 0 à 4. En zone 0, la formule (6.1) donne F = 0, mais le RPS ne déclare pas cette zone hors de son champ (l’annexe y indique 5 cm/s) ;
• S : coefficient de site (Tableau 5.2) : 1,0 (S1) ; 1,2 (S2) ; 1,4 (S3) ; 1,8 (S4). Faute d’informations sur le sol, on retient le site S2 (5.2.3.2) ; le site S5 relève d’un spécialiste ;
• D : facteur d’amplification dynamique (Tableau 5.3), fonction de T et du rapport des numéros de zone Z_a/Z_v ;
• I : coefficient de priorité (Tableau 3.1) : 1,30 (classe I), 1,20 (classe II), 1,0 (classe III, bâtiments courants d’habitation, de bureaux ou de commerce) ;
• K : facteur de comportement (Tableau 3.3), fonction du système de contreventement et du niveau de ductilité choisi ; pour des voiles : 1,4 (ND1), 2,1 (ND2), 2,8 (ND3) ;
• W : charge prise en poids de la structure, totalité des charges permanentes G et fraction ψQ des charges d’exploitation, avec ψ = 0,20 pour l’habitation et les bâtiments administratifs, 0,30, 0,40 ou 1,00 pour les autres natures de surcharges (Tableau 6.1).

Le facteur d’amplification dynamique vaut (Tableau 5.3, amortissement de 5 %) :

Le niveau de ductilité minimal dépend de la classe du bâtiment et de υ (Tableau 3.2) ; en cas de grandes incertitudes sur la proximité de foyers sismiques potentiels ou sur l’évaluation de l’amplification du site, ND3 remplace ND2 pour un séisme moyen (3.3.3). La détermination de K fait l’objet de l’article coefficient de comportement.

RPS 2011 : répartition verticale et force au sommet

• F_t : force additionnelle affectée au sommet du bâtiment ; le reste F − F_t se répartit sur tous les niveaux, dernier niveau compris ;
• W_n, h_n : charge totale du niveau n et hauteur de ce niveau à partir du sol.

RPS 2011 : effet de torsion

À chaque niveau, la force sismique latérale est déplacée de e₁ dans un sens, puis de e₂ dans l’autre (6.5) :

• e : distance entre le centre de rigidité et le centre des masses, perpendiculairement au séisme ;
• L : dimension horizontale du plancher perpendiculaire au séisme (notée L_p dans la feuille).

Chaque élément de contreventement est conçu pour les effets extrêmes des différents cas de chargement. Le RPS ne donne pas de coefficient d’amplification forfaitaire analogue au δ de l’Eurocode 8.

3. Les étapes de la justification

Eurocode 8

1. Élancement en plan λ (un des critères de régularité en plan).
2. Période fondamentale T₁ (H ≤ 40 m).
3. Domaine de la méthode : T₁ ≤ min(4 T_C ; 2,0 s), régularité en élévation supposée acquise.
4. Coefficient de comportement q.
5. Accélération spectrale de calcul S_d(T₁).
6. Effort tranchant à la base F_b.
7. Force au niveau i F_i.
8. Amplification pour torsion accidentelle δ d’un élément.

RPS 2011

1. Régularité et domaine : L/B ≤ 3,5, H ≤ 4 B, autres critères du 3.2 déclarés, H ≤ 60 m.
2. Période fondamentale T = 0,09 H/√L, au plus 2 s.
3. Données sismiques : υ, S, I et rapport Z_a/Z_v.
4. Niveau de ductilité et facteur K (Tableaux 3.2 et 3.3).
5. Facteur d’amplification dynamique D (Tableau 5.3).
6. Charge W = G + ψQ.
7. Force à la base F = υ S D I W / K.
8. Répartition verticale : F_t au sommet et F_n au niveau n.
9. Excentricités e₁ et e₂ de la force à chaque niveau.

L’exemple traité en Eurocode 8

Élancement. λ = 26,2/20,4 = 1,28 ≤ 4.

Période. C_t = 0,075/√12,68 = 0,0211 ; T₁ = 0,0211 × 22,4^0,75 = 0,217 s ≤ min(4 × 0,25 ; 2,0) = 1,0 s : la méthode s’applique.

Coefficient de comportement. k_w = (1 + 0,855)/3 = 0,618 ; q = 3,0 × 0,618 = 1,855 ≥ 1,5.

Spectre. T_B ≤ T₁ ≤ T_C (palier) : S_d = 1,6 × 1,0 × 2,5/1,855 = 2,156 m/s².

Effort tranchant à la base. 8 niveaux et T₁ ≤ 2 T_C = 0,50 s : λ = 0,85 ; F_b = 2,156 × 4 570 × 0,85 = 8 376 kN, soit 18,7 % du poids m g.

Niveau étudié. F_i = 8 376 × 19,6 × 582,9 / 56 679 = 1 688 kN.

Torsion accidentelle. δ = 1 + 0,6 × 7,6/15,2 = 1,30 : les efforts de l’élément extrême sont majorés de 30 %.

L’exemple traité en RPS 2011

Le même bâtiment est supposé construit à Marrakech, commune de Menara Gueliz : l’annexe du RPS y donne une vitesse de 10 cm/s, la zone de vitesse Z_v = 2 et la zone d’accélération Z_a = 3.

Domaine. L/B = 26,2/20,4 = 1,28 ≤ 3,5 ; H/B = 22,4/20,4 = 1,10 ≤ 4 ; H = 22,4 m ≤ 60 m.

Période. T = 0,09 × 22,4/√20,4 = 0,446 s ≤ 2 s.

Données sismiques. υ = 0,10 ; S = 1,2 ; I = 1,0 ; Z_a/Z_v = 3/2 > 1.

Facteur de comportement. Classe III et υ = 0,10 : ND1 requis (Tableau 3.2) ; voiles en ND1 : K = 1,4 (Tableau 3.3).

Amplification. 0,25 s < T < 0,50 s et Z_a > Z_v : D = −6,4 × 0,446 + 5,1 = 2,243.

Charge. W = 42 700 + 0,20 × 10 700 = 44 840 kN.

Force à la base. F = 0,10 × 1,2 × 2,243 × 1,0 × 44 840 / 1,4 = 8 622 kN, soit 19,2 % de W.

Niveau étudié. T ≤ 0,7 s : F_t = 0 ; F_n = 8 622 × 5 720 × 19,6 / 556 000 = 1 739 kN.

Torsion. e₁ = 0,5 × 0,50 + 0,05 × 26,2 = 1,56 m ; e₂ = 0,05 × 26,2 = 1,31 m.

4. Ce qu’il faut retenir

• La méthode des forces latérales exige la régularité en élévation et T₁ ≤ min(4 T_C ; 2 s) ; la régularité en plan décide seulement du modèle (plan ou spatial).
• Le coefficient de comportement d’un bâtiment à voiles non couplés dépend de la classe de ductilité et du rapport de forme des voiles (k_w) : des voiles courts (α₀ faible) réduisent q et augmentent les efforts.
• Au-delà de T_C, l’accélération spectrale de calcul décroît en T_C/T, sans descendre sous β a_g.
• Le coefficient δ majore les efforts des éléments éloignés du centre de masse ; le facteur 0,6 passe à 1,2 lorsque l’analyse utilise deux modèles plans.
• RPS 2011 : l’approche statique équivalente exige un bâtiment régulier (3.2), H ≤ 60 m et T ≤ 2 s ; la force à la base vaut F = υ S D I W / K.
• RPS 2011 : au-delà de T = 0,7 s, une force F_t = 0,07 T F est affectée au sommet avant la répartition du reste sur la hauteur.
• Les zones de vitesse et d’accélération se lisent commune par commune dans l’annexe du RPS : le rapport Z_a/Z_v modifie D sur les courtes périodes.

5. Références

• NF EN 1998-1 (septembre 2005), Eurocode 8 : calcul des structures pour leur résistance aux séismes, partie 1, et son amendement A1 (mai 2013) : §3.2.1, §3.2.2.2, §3.2.2.5, §4.2.3, §4.3.1, §4.3.2, §4.3.3.2, §5.2.2.2.
• NF EN 1998-1/NA (décembre 2013), annexe nationale française : clauses 3.1.2 (1), 3.2.1 (2), 3.2.2.2 (2)P, 3.2.2.5 (4)P, 4.2.5 (5)P et 4.3.3.1 (8).
• Règlement de construction parasismique RPS 2000, version 2011 (Maroc), approuvé par le décret n° 2-12-682 du 28 mai 2013 : articles 1.2, 3.1, 3.2, 3.3, 5.2, 6.2.1, 6.3, 6.4.1, 6.5 et annexe (catalogue des vitesses et des zones par commune).

6. Feuille de calcul