Voile en béton armé sous séisme : Eurocode 8, RPS 2011 et règles PS 92

Voile en béton armé sous séisme : Eurocode 8, RPS 2011 et règles PS 92

Un voile de contreventement sollicité par un séisme travaille en flexion composée dans son plan, sous un effort normal, un moment fléchissant et un effort tranchant. Cet article vérifie le même voile de trois façons : selon l’Eurocode 8, qui le traite comme un mur ductile ; selon le règlement parasismique marocain RPS 2011 ; selon les anciennes règles PS 92, utiles pour relire la note de calcul d’un bâtiment existant.

1. Le problème : un voile en flexion composée sous l’action sismique

Sous séisme, un voile de contreventement reprend trois efforts dans son plan :

• un effort normal N, dû aux charges verticales ;
• un moment fléchissant M, dû à l’action horizontale du séisme ;
• un effort tranchant V.

Ces efforts sont issus d’une analyse faite avec un coefficient de comportement (q en Eurocode 8 et PS 92, K dans le RPS), qui réduit l’action sismique élastique. L’Eurocode 8 et les règles PS 92 majorent toujours l’effort tranchant ainsi réduit avant de le comparer à la résistance ; le RPS 2011 le majore en ductilité ND2 et ND3 (coefficient ω avec l’approche statique équivalente, facteur γ en ND3).

2. Le mécanisme

Eurocode 8 : un mur ductile

Un mur ductile est encastré à sa base et conçu pour dissiper l’énergie dans une rotule plastique de flexion en pied (NF EN 1998-1, 5.1.2). Un élément n’est un mur que si sa longueur l_w dépasse quatre fois son épaisseur b_w.

Pour que cette rotule se forme avant toute rupture fragile, la classe DCM impose :

• un effort normal limité (ν_d ≤ 0,4), pour garder de la ductilité ;
• un effort tranchant majoré de 50 %, pour que le cisaillement ne cède pas avant la flexion ;
• des éléments de rive, aux extrémités du mur, dans la zone critique en pied.

RPS 2011 : un niveau de ductilité fixé par le classement

Le niveau de ductilité (ND1, ND2 ou ND3) découle de la classe du bâtiment et de la zone de vitesse de la commune (Tableau 3.2). Il commande le facteur de comportement K et la majoration de l’effort tranchant.

La section est ensuite justifiée selon les règles de béton armé : flexion composée, flambement du mur, effort tranchant. Des dispositions minimales (épaisseur, pourcentages, espacements, chaînages) complètent la vérification.

Règles PS 92 : contraintes normales, cisaillement et glissement

La section est calculée en flexion composée par la règle des trois pivots, puis découpée en bandes dont la contrainte moyenne est comparée à la contrainte limite de flambement du DTU 23.1. La résistance au cisaillement est comparée à une contrainte limite τ_lim qui tient compte de l’effort normal et des aciers longitudinaux. Une vérification distincte porte sur le glissement le long d’une reprise de bétonnage.

Notations

3. Les étapes de la justification

Eurocode 8, mur ductile en classe DCM (mode par défaut)

1. Résistances de calcul. L’annexe nationale de la NF EN 1998-1 (5.2.4(3), note 2) retient γ_c = 1,30 et γ_s = 1,00 ; α_cc = 1 (annexe nationale de la NF EN 1992-1-1) :
   f_cd = f_ck/1,30 ; f_yd = f_yk/1,00
2. Épaisseur de l’âme (expression 5.7) :
   b_w ≥ max(0,15 m ; h_s/20)
3. Effort normal réduit (5.4.3.4.1(2)) :
   ν_d = N_Ed/(A_c f_cd) ≤ 0,4
4. Flexion composée selon la NF EN 1992-1-1 (section 6.1), en comptant les barres verticales d’âme (5.4.3.4.1(3)P) et l’excentricité minimale e₀ = max(l_w/30 ; 20 mm) :
   M_Ed ≤ M_Rd(N_Ed)

   La feuille cherche l’état de déformation plane qui équilibre N_Ed et M_Ed : béton parabole-rectangle (ε_c2 = 2 ‰, ε_cu2 = 3,5 ‰), acier à palier horizontal. Elle en tire la profondeur comprimée x_u et le bras de levier z.

5. Effort tranchant majoré de 50 % (5.4.2.4(7)), résistance selon la NF EN 1992-1-1 (6.2.3) :
   V_Ed = 1,5 V’_Ed
   V_Rd,s = A_h z f_yd cot θ (A_h par mètre, soit A_sw/s) ; V_Rd,max = b_w z ν₁ f_cd/(cot θ + tan θ)ν₁ = 0,6(1 − f_ck/250) ; 1 ≤ cot θ ≤ 2,5 (annexe nationale, mur comprimé) ; α_cw = 1
6. Zone critique et éléments de rive (5.4.3.4.2) :
   • hauteur de la zone critique h_cr = max(l_w ; H_w/6), sans dépasser 2l_w ni h_s (jusqu’à 6 niveaux) ou 2h_s (7 niveaux et plus) ;
   • longueur de l’élément de rive au moins égale à l_c,min = max(0,15 l_w ; 1,5 b_w) ;
   • pourcentage d’aciers verticaux de l’élément de rive au moins égal à 0,5 % ;
   • épaisseur de l’élément de rive au moins égale à 200 mm et à h_s/15 (h_s/10 si l’élément de rive est long).

RPS 2011 (Maroc)

1. Classement et ductilité. La zone de vitesse de la commune (annexe du RPS) donne υ (Tableau 5.1). Avec la classe du bâtiment (3.1.1), le Tableau 3.2 fixe le niveau de ductilité :
   • classes I et II : ND1 si υ ≤ 0,10 ; ND2 si 0,10 < υ ≤ 0,20 ; ND3 au-delà ;
   • classe III : ND1 si υ ≤ 0,20 ; ND2 au-delà ;
   • ND3 au lieu de ND2 en cas de grandes incertitudes sur le site (3.3.3).

   Le facteur de comportement des voiles vaut K = 1,4, 2,1 ou 2,8 (Tableau 3.3). Béton : f_c28 > 22 MPa (4.2.1) ; acier : f_e ≤ 500 MPa, coefficient de sécurité 1,15 (4.2.2).

2. Effort tranchant de calcul (7.2). En ND2 et ND3, avec l’approche statique équivalente, l’effort tranchant est multiplié par ω (7.2.2.2 b, expression 7.4, N nombre de niveaux) ; en ND3, il est en outre multiplié par γ (7.2.3) :
   ω = 0,1N + 0,9 (N ≤ 5) ; ω = 1,4 + 0,04(N − 5) (5 < N < 15) ; ω = 1,8 (N = 15)
   γ = M_ul/M ≤ 4

   L’approche statique équivalente suppose un bâtiment régulier, d’au plus 60 m, de période au plus égale à 2 s (6.2.1.2).

3. Épaisseur minimale (7.3.1.4.1), avec la hauteur nette h_e de l’étage :
   15 cm et h_e/20 (non rigidifié), h_e/22 (rigidifié à une extrémité), h_e/25 (rigidifié aux deux extrémités)
4. Flexion composée selon le BAEL (A.4.3), avec f_bu = 0,85 f_c28/(θ γ_b), γ_b = 1,15 (combinaison accidentelle), et une excentricité additionnelle e_a = max(2 cm ; l/250) :
   M + N e_a ≤ M_u(N)
5. Flambement du mur selon le DTU 23.1 (4.2.2), sur la distribution plane des contraintes N/(ab) ± 6M/(ab²), découpée en bandes : voir l’encadré ci-dessous (élancement λ = l_f√12/a).
6. Effort tranchant. Le DTU 23.1 (4.2.3) dispense de justification si τ_u = V_u/(a d) reste inférieure à 0,05 f_c28 sous compression ; au-delà, le BAEL s’applique (A.5.1) :
   τ_u ≤ min(0,2 f_cj/γ_b ; 5 MPa) ; A_h/(a s_t) ≥ γ_s(τ_u − 0,3 f_tj k)/(0,9 f_e)k = 1 + 3σ_cm/f_cj, borné à 1 sur une reprise munie d’indentations d’au moins 5 mm et à 0 sur une reprise non traitée
7. Ferraillage minimal (7.3.1.4.4) : aciers verticaux et horizontaux d’au moins 0,20 % et d’au plus 4 % ; diamètre au plus égal au dixième de l’épaisseur ; espacement d’au plus min(20 cm ; 1,5e) en zone critique ; chaînage de chaque extrémité d’au moins 4T12 en zone critique.

Règles PS 92, article 11.8.2.1 (ancien texte)

1. Matériaux (11.2.1, 11.2.2) : pour un élément principal, f_c28 de 22 à 60 MPa ; armatures à haute adhérence, f_e ≤ 500 MPa, allongement total sous charge maximale d’au moins 5 %.
2. Contraintes limites (11.8.2.1.1) :
   σ_bc = 0,85 f_cj/(1,15 γ_f) avec γ_f = 1,3 ; acier : f_e/γ_s avec γ_s = 1

   f_tj = 0,6 + 0,06 f_cj est la formule du BAEL (A.2.1,12).

3. Contraintes normales (11.8.2.1.1) : on cherche l’état de déformation plane, limité par les trois pivots (3,5 ‰ ; 2 ‰ à 3b/7 ; −10 ‰ pour l’acier), dont les contraintes équilibrent N et M.
4. Bandes et flambement (11.8.2.1.1 et DTU 23.1) : la zone comprimée est découpée en bandes de largeur au plus min(h_s/2 ; 2x/3) ; la contrainte moyenne n_i de chaque bande est comparée à n_ul du DTU 23.1 :
   n_i ≤ n_ul ; λ = l_f √12/(a − 2 cm)

   La feuille prend γ_b = 1,15 et γ_s = 1 dans n_ul (valeurs accidentelles du BAEL, auxquelles renvoie le DTU 23.1) et retient, pour chaque bande, la plus défavorable de deux comparaisons : béton seul face à n_ul sans aciers, béton et aciers comprimés face à n_ul les comptant.

5. Pourcentage minimal des bandes d’extrémité de largeur b_f = min(b/2 ; 100 cm) (11.8.2.1.2) :
   ρ₁ = 0,001 q n_i/σ_bc ; ρ = 0 si ρ₁ ≤ 0,001, ρ = ρ₁ sinon
6. Cisaillement (11.8.2.1.3 a) :
   V* = V(1 + q)/2 ; τ* = V*/(a d)
   τ_lim = max[min(τ₁ ; τ₂)(1 + 3π_f) + 0,15σ ; 0,5 f_tj]σ = N/(ab) ; π_f = 100 A_f/(a d), plafonné à 2 % ; τ₁ = τ* M_lim/M avec M_lim = (ab²/6)(σ + f_tj/1,5) ; τ₂ = 0,45 √[f_tj(f_tj + 2σ/3)], valable si σ ≤ 0,5 f_cj

   Si τ* > τ_lim, ce n’est pas un échec : il faut des armatures d’effort tranchant

   A_t/s_t ≥ a(τ* − τ_lim)/(0,9 f_e)

   disposées selon α_v = M/(bV*) :

   • horizontalement si α_v ≥ 1,5 ;
   • verticalement si α_v ≤ 0,5 ;
   • dans les deux directions entre ces deux valeurs.
7. Non-glissement le long d’une reprise de bétonnage (11.8.2.1.3 b) :
   V* ≤ 0,35 f_tj a x + (F_b + A’ f_e) × 0,7

   x est la largeur comprimée et F_b la résultante de compression, tirées de l’étape 2 ; A’ est la section totale des barres verticales d’âme, associées à des armatures horizontales de même pourcentage.

8. Dispositions minimales (11.8.2.1.4) : épingles de diamètre au moins max(Φ_L/3 ; 6 mm), espacées d’au plus min(10 Φ_L ; 20 cm) ; potelet d’about de dimensions a × d’ :
   d’ = max{a ; a q n/σ_bc ; (l_f/15) q n/σ_bc}

Domaine de la feuille

• L’élément doit être un mur : l_w/b_w > 4 en Eurocode 8 (5.1.2) ; épaisseur d’au moins 15 cm et largeur d’au moins quatre fois l’épaisseur selon les règles PS 92 (11.4.1).
• RPS 2011 et règles PS 92 : domaine du DTU 23.1 (longueur au moins égale à 5 fois l’épaisseur, λ ≤ 80, béton d’au plus 40 MPa, épaisseur d’au moins 10 cm).
• RPS 2011, approche statique équivalente : bâtiment régulier, hauteur d’au plus 60 m, période d’au plus 2 s ; en ND2 et ND3, au plus 15 niveaux (coefficient ω).
• Règles PS 92 : si σ = N/(ab) dépasse 0,5 f_cj, le trumeau est à vérifier comme un poteau (11.8.2.1.3 a).
• Le voile doit être globalement comprimé (N > 0) et soumis à un moment et à un effort tranchant non nuls. Il est symétrique : la feuille prend les valeurs absolues de M et V, les deux sens du séisme donnant le même résultat.
• Eurocode 8 : f_ck de 16 à 50 MPa ; tous les modes : f_e (f_yk) de 400 à 600 MPa (aciers à haute adhérence de béton armé ; NF EN 1992-1-1 3.2.2(3)P), diamètres d’au plus 40 mm.
• Eurocode 8 : section totale des armatures verticales au plus égale à 0,04 A_c (NF EN 1992-1-1, 9.6.2(1), valeur retenue par l’annexe nationale) ; règles PS 92 : la feuille ne calcule pas au-delà de ce même pourcentage.
• Hors de ce domaine, la feuille affiche « Méthode non applicable » et ne donne aucun résultat.

L’exemple traité

Les efforts sont les mêmes dans les trois modes, pour comparer les méthodes. Les barres d’âme et les armatures horizontales respectent l’espacement de 20 cm de la zone critique du RPS 2011 ; les aciers d’extrémité respectent le pourcentage de 0,5 % des éléments de rive de l’Eurocode 8.

NF EN 1998-1. f_cd = 19,23 MPa ; b_w = 0,20 m ≥ 0,15 m ; ν_d = 0,043 ≤ 0,4.

Flexion composée : x_u = 2,78 m, z = 7,42 m et M_Rd = 24,44 MN·m ≥ 12,00 MN·m.

Effort tranchant : V_Ed = 1,5 × 1,450 = 2,175 MN. Avec cot θ = 2,5, V_Rd,s = 4,667 MN et V_Rd,max = 5,316 MN : vérifié.

Éléments de rive : h_cr = 3,00 m ; l_c,min = 1,50 m ; 16,08/(150 × 20) = 0,54 % ≥ 0,5 % ; épaisseur 0,20 m ≥ h_s/15 = 0,20 m (élément de rive supposé plus court que max(2b_w ; 0,2 l_w) = 2,00 m). Armatures verticales : (2 × 16,08 + 88 × 0,50)/(1 000 × 20) = 0,38 % ≤ 4 %.

La feuille affiche « Vérifications calculées satisfaites ».

RPS 2011. Classe II et υ = 0,13 : niveau de ductilité ND2, K = 2,1. Approche statique équivalente (T = 0,09 × 15/√10 = 0,43 s) : ω = 0,1 × 5 + 0,9 = 1,40, d’où un effort tranchant de calcul de 1,40 × 1,450 = 2,030 MN.

Épaisseur : 0,20 m ≥ max(0,15 ; 2,80/20) = 0,15 m. Flexion composée (f_bu = 18,48 MPa, f_e/1,15 = 434,8 MPa) : M_u = 21,80 MN·m ≥ 12,03 MN·m.

Flambement : l_f = 0,80 × 2,80 = 2,24 m, λ = 38,8, α = 0,682. Sur la bande d’extrémité de 1,50 m, la contrainte moyenne vaut 3,90 MPa pour σ_ulim = 16,87 MPa.

Effort tranchant : τ_u = 2,030/(0,20 × 9,50) = 1,068 MPa < 0,05 × 25 = 1,25 MPa : pas de justification selon le DTU 23.1. Le BAEL demanderait 2,24 cm²/m, pour 5,03 cm²/m en place ; avec une reprise non traitée (k = 0), il en faudrait 5,46 cm²/m.

Dispositions : ρ_v = 0,38 % et ρ_h = 0,25 % ; espacements de 20 cm ; chaînages de 8 HA16. La feuille affiche « Vérifications calculées satisfaites ».

Règles PS 92. Matériaux : f_c28 = 25 MPa entre 22 et 60 MPa ; f_e = 500 MPa ≤ 500 MPa. σ_bc = 14,21 MPa ; f_tj = 2,10 MPa.

Contraintes normales : l’état d’équilibre donne une largeur comprimée x = 3,08 m et une résultante F_b = 2,198 MN.

Flambement : l_f = 2,24 m, λ = 2,24 × √12/0,18 = 43,1, α = 0,652. Sur la bande d’extrémité de 1,50 m, n_i = 5,30 MPa (béton) pour n_ul = 14,18 MPa, et 5,87 MPa (béton et aciers) pour 16,41 MPa : taux 0,37.

Pourcentage minimal : sur la bande b_f de 1,00 m, n_i = 5,81 MPa, d’où ρ₁ = 0,00082 ≤ 0,001 : pas de pourcentage minimal de ce chef.

Cisaillement : V* = 2,175 MN, τ* = 1,145 MPa, supérieur à τ_lim = 1,050 MPa (valeur 0,5 f_tj, plus grande que τ₃ = 1,014 MPa). Il faut A_t/s_t ≥ 0,42 cm²/m dans les deux directions (α_v = 0,55). Les 5,03 cm²/m horizontaux et les 4,89 cm²/m verticaux d’âme suffisent.

Non-glissement : V* = 2,175 MN ≤ 3,531 MN. Dispositions : épingles HA6 espacées d’au plus 16 cm, potelet d’about de 20 cm × 20 cm au moins.

La feuille affiche « Vérifications calculées satisfaites ».

4. Ce qu’il faut retenir

• Au Maroc, le texte est le RPS 2011 ; en France, pour un projet neuf, l’Eurocode 8 et son annexe nationale ; les règles PS 92 servent à relire l’existant.
• L’effort tranchant issu de l’analyse est majoré : de 50 % pour un mur ductile DCM ; par ω (approche statique équivalente, ND2 et ND3) et par γ (ND3) selon le RPS 2011 ; du facteur (1 + q)/2 selon les règles PS 92.
• La feuille vérifie le flambement du mur par bandes avec le DTU 23.1 : en mode PS 92, parce que ces règles y renvoient ; en mode RPS 2011, parce que la feuille retient ce texte comme règle de béton armé des murs. Longueur de flambement, élancement au plus égal à 80, contrainte limite fonction de α.
• En Eurocode 8, la ductilité du mur passe par un effort normal limité et par des éléments de rive armés et confinés en pied de mur.
• Selon les règles PS 92, un cisaillement τ* supérieur à τ_lim n’est pas un échec : il impose des armatures d’effort tranchant, à comparer à celles mises en place.

5. Références

• NF EN 1998-1 (Eurocode 8), Calcul des structures pour leur résistance aux séismes, partie 1, et son annexe nationale NF EN 1998-1/NA (décembre 2013) : 5.1.2 (définitions), 5.2.4 (coefficients partiels), 5.4.1.2.3, 5.4.2.4, 5.4.3.4 (murs ductiles, classe DCM).
• NF EN 1992-1-1 (Eurocode 2) et son annexe nationale : 3.1.6, 3.1.7, 3.2.7 (lois de calcul), 6.1 (flexion composée), 6.2.3 (effort tranchant), 3.2.2(3)P et 9.6.2(1) (limites des aciers).
• Règlement de construction parasismique RPS 2000, version 2011 (Maroc, décret n° 2-12-682 du 28 mai 2013) : 3.1 et 3.3 (classement, ductilité, facteur K), 4.2 (matériaux), 5.2.2 (zonage), 6.2.1 (approche statique équivalente), 7.2.2.2 et 7.2.3 (sollicitations des voiles), 7.3.1.4 (voiles de contreventement), 8.3 (vérification de la résistance), annexe (zones des communes).
• DTU 23.1 (NF P 18-210, mai 1993), Murs en béton banché : 4.2.1 (domaine de validité), 4.2.2 (longueur de flambement, effort normal limite, bandes), 4.2.3 (sollicitation tangente).
• Règles BAEL 91 révisées 99 (DTU P 18-702) : A.2.1,12, A.2.2,1, A.4.3,2 à A.4.3,5 (flexion composée), A.5.1 (effort tranchant).
• Norme NF P 06-013, Règles de construction parasismique, Règles PS applicables aux bâtiments, dites PS 92, AFNOR, décembre 1995, amendements A1 (2001) et A2 (2004) : articles 11.2.1, 11.2.2, 11.4.1 et 11.8.2.1 (ancien texte, que la NF EN 1998-1 est destinée à remplacer).

6. Feuille de calcul