Escalier à paillasse porteuse droite

Escalier à paillasse porteuse droite : dimensionner le ferraillage d’une volée

Article NC-02-25-02-02 · Méthode : poutre isostatique équivalente (BAEL 91, adaptable Eurocode 2) · Niveau : jeune ingénieur structure

Une volée d’escalier droite, portant d’un palier à l’autre sans poutre ni limon porteur, se calcule comme une dalle inclinée en flexion simple : on la « déplie » en une poutre isostatique de portée horizontale, chargée par le poids propre réel de la paillasse et des marches, puis on compare la section d’acier obtenue au ferraillage réellement disposé sur la largeur de la volée. Cet article détaille cette méthode pas à pas, avec un palier de chaque côté, sur un exemple chiffré complet.

Avertissement : exemple de calcul à but pédagogique

Cette page présente un exemple de calcul destiné à l’apprentissage de la justification élémentaire des éléments de structure. Elle ne constitue pas un outil de dimensionnement d’ouvrages réels : la volée est supposée simplement appuyée sur les deux paliers, sans continuité, sans limon ni poutre palière, et les résultats ne sont pas vérifiés pour un projet donné. Les vérifications de contrainte à l’état limite de service (béton comprimé, ouverture des fissures) et de flèche ne sont pas traitées.

NEOGENESIS décline toute responsabilité quant à l’utilisation de ces calculs dans des projets qui ne sont pas contrôlés par NEOGENESIS. Le seul moyen d’engager notre responsabilité est de faire valider ces calculs par nos ingénieurs dans le cadre d’une mission de contrôle technique.

1. Le problème : une paillasse inclinée porte comme une poutre, mais pèse plus qu’une dalle plane

Une paillasse porteuse (la dalle inclinée qui supporte les marches) travaille en flexion simple, exactement comme une dalle pleine sur appuis simples. Deux difficultés propres aux escaliers viennent s’ajouter au calcul ordinaire d’une dalle : d’une part, le poids propre réel (paillasse inclinée + marches triangulaires + revêtement) est supérieur à celui d’une dalle plane de même épaisseur, car le béton suit la pente ; d’autre part, les charges du palier, plus large que la volée, doivent être ramenées à la largeur de calcul de la volée pour bâtir une poutre équivalente unique et cohérente sur toute la longueur.

2. Le mécanisme : déplier la volée en poutre horizontale, puis compter les barres sur la largeur

On calcule les charges, le moment et l’effort tranchant sur la portée horizontale totale l = l₁ + l_x + l₂ (palier d’about + projection horizontale de la volée + palier d’about), comme pour une poutre-dalle isostatique ordinaire de largeur 1 m. Le coefficient de pente k = l_rampant/l_x intervient une seule fois, sur le poids propre : l’épaisseur e_p de la paillasse est mesurée perpendiculairement à la pente, alors que la charge est rapportée à la projection horizontale. Il n’intervient pas dans le calcul des aciers. La section d’acier obtenue est une section par mètre linéaire de largeur : pour la comparer au ferraillage du plan, on la multiplie par la largeur b_v de la volée, et on la confronte au nombre de barres réellement disposées en fond de paillasse sur cette largeur.

3. Les étapes de la justification

Charges de la volée (paillasse inclinée + marches + revêtement) et du palier (dalle plane + revêtement), à l’état limite ultime.
Charge de calcul unique, en ramenant la charge du palier (plus large) à la largeur effective de la volée, puis en retenant l’enveloppe la plus défavorable sur toute la portée.
Sollicitations M_u et V_u sur la poutre isostatique équivalente de portée horizontale totale.
Ferraillage longitudinal en flexion simple, puis passage de la section par mètre linéaire à la section sur la largeur de la volée.
Vérifications complémentaires : condition de non-fragilité, armatures de répartition, effort tranchant, armatures en chapeau sur appui.

Fig. 1 : coupe longitudinale de l’escalier. l₁, l₂ : paliers d’about ; l_x : projection horizontale de la volée ; l_rampant : longueur réelle de la paillasse sur la pente.

Notations

l₁, l₂	longueurs des paliers d’about, de part et d’autre de la volée
l_x	projection horizontale de la volée d’escalier
l_rampant	longueur réelle de la paillasse mesurée sur la pente (hypoténuse)
k	coefficient de pente = l_rampant/l_x
e_p	épaisseur de la paillasse, mesurée perpendiculairement à la pente
h_m	hauteur d’une marche (contremarche)
e_r	épaisseur du revêtement de marche
e_pal	épaisseur de la dalle du palier
L_pal, L_vol	largeurs du palier et de la volée, pour le report de charge
d	hauteur utile de la section (paillasse ou palier)
g, q	charges permanente et d’exploitation par unité de surface
M_u, V_u	moment fléchissant et effort tranchant de calcul sur la poutre équivalente
b_v	largeur de la volée (1,20 m dans l’exemple : deux volées de 1,20 m séparées par un jour de 0,60 m sur une trémie de 3,00 m)
A	section d’aciers longitudinaux, par mètre linéaire puis rapportée à la largeur de la volée
p_u	charge ultime de calcul par unité de surface, 1,35 g + 1,5 q
μ, z	moment réduit et bras de levier de la section
γ_béton, γ_revêt.	poids volumiques du béton armé (25 kN/m³) et du revêtement (20 kN/m³)

BAEL 91 et Eurocode 2 : une méthode d’analyse commune, des vérifications de section différentes

Le principe de la poutre isostatique équivalente et la prise en compte de la pente dans le poids propre ne dépendent d’aucun référentiel de calcul des sections : c’est une méthode d’analyse structurale, et la combinaison ELU 1,35 G + 1,5 Q est la même dans les deux cas. Ce qui change entre BAEL 91 et Eurocode 2, c’est la vérification de la section une fois M_u et V_u connus :

résistance de calcul du béton : f_bu = 0,85 f_c28/1,5 en BAEL, f_cd = f_ck/1,5 en EC2 (α_cc = 1 selon l’annexe nationale française) ; celle des aciers vaut f_e/1,15 dans les deux cas ;
bras de levier : la méthode simplifiée du BAEL z = (1 − 0,6 μ) d est utilisée tant que μ ≤ 0,275, la formule du diagramme rectangulaire au-delà et en EC2 ; dans les deux référentiels, la feuille s’arrête au moment réduit limite sans aciers comprimés (0,372 pour des aciers de limite 500 MPa) ;
section minimale : en BAEL, la plus grande de la règle du millième (b h/1000, retenue par l’exemple traité ici) et de la condition de non-fragilité 0,23 b d f_t28/f_e ; en EC2, 0,26 f_ctm/f_yk b d avec un minimum de 0,0013 b d ;
armatures de répartition : un quart des aciers principaux en BAEL, 20 % en EC2 ;
effort tranchant : contrainte tangente limite forfaitaire 0,07 f_c28/γ_b en BAEL, résistance v_Rd,c dépendant du taux d’armature en EC2 (§6.2.2) ;
appuis : ancrage des aciers inférieurs V_u γ_s/f_e en BAEL, V_Ed a_l/z avec a_l = d en EC2 ; chapeaux équilibrant forfaitairement 0,15 M_u en BAEL, au moins 25 % du moment de travée en EC2 (§9.3.1.2), ce qui rend insuffisants, en EC2, les 5 HA 6 au mètre linéaire de l’exemple.

4. Ce qu’il faut retenir

Le poids propre d’une paillasse n’est pas celui d’une dalle plane de même épaisseur : il faut ajouter le poids des marches (triangle plein, la moitié de leur hauteur) et corriger l’épaisseur de la paillasse elle-même de l’allongement dû à la pente.
Le coefficient de pente k = l_rampant/l_x ne concerne que le poids propre de la paillasse. Il ne majore pas les sections d’acier : la section calculée en flexion simple est une section par mètre linéaire de largeur, qu’il faut multiplier par la largeur b_v de la volée pour la comparer au nombre de barres du plan de ferraillage.
Quand un palier plus large que la volée participe à la même poutre équivalente, sa charge doit être ramenée à la largeur de calcul de la volée avant de bâtir une charge de calcul unique et enveloppe sur toute la portée.
Les armatures en chapeau sur appui doivent équilibrer forfaitairement 0,15 M_u, ce qui revient à 15 % de la section théorique en travée ; distinctement, les aciers inférieurs prolongés sur appui doivent ancrer l’effort tranchant (A ≥ V_u γ_s/f_e). Ces deux vérifications sont chiffrées dans l’exemple traité ici. En Eurocode 2, la part forfaitaire de moment sur appui d’une dalle passe à 25 %.

5. Références

Règles BAEL 91 révisées 99 (DTU P 18-702) : chapitre A.4 (état limite ultime sous sollicitations normales), article A.4.2,1 (condition de non-fragilité), article B.6.4 (règle du millième), article A.5.2,2 (dalles sans armatures d’effort tranchant).
NF EN 1992-1-1 (Eurocode 2) et son annexe nationale française : §3.1.6 (résistance de calcul du béton), §6.1 (flexion), §6.2.2 (effort tranchant sans armatures), §9.2.1.1 (section minimale d’armatures de flexion), §9.2.1.4 (ancrage des armatures inférieures sur appui d’extrémité), §9.3.1.1 et §9.3.1.2 (dalles : armatures secondaires, armatures sur appui).

NEOPEDIA · en pratique

Sur les escaliers en paillasse, nos ingénieurs vérifient systématiquement l’hypothèse d’appui simple retenue par la méthode simplifiée (absence réelle de continuité avec le palier ou de limon porteur), et s’assurent que le nombre de barres du plan couvre bien la section calculée sur la largeur réelle de la volée, une confusion entre section par mètre linéaire et section sur la largeur de la volée étant vite arrivée quand la largeur vaut 1,20 m.

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6. Feuille de calcul