Poteau à chargement centré : méthode

Poteau à chargement centré : méthode forfaitaire BAEL et vérification Eurocode 2

Poteau à chargement centré : méthode forfaitaire BAEL et vérification Eurocode 2, pas à pas

Article NC-02-17-05-01 · Référentiels : BAEL 91 et Eurocode 2 (NF EN 1992-1-1 et annexe nationale, méthode simplifiée du guide FD P18-717) · Niveau : jeune ingénieur structure

Un poteau chargé en compression centrée ne s’écrase pas comme un simple bloc de béton : passé un certain élancement, il flambe, c’est-à-dire qu’il se dérobe latéralement avant même que le béton n’atteigne sa résistance. La méthode forfaitaire du BAEL condense cette réalité physique complexe en un seul coefficient, α, qui pénalise la résistance théorique du poteau en fonction de son élancement. Cet article explique comment calculer cet élancement et ce coefficient, puis vérifie un poteau complet dans une feuille de calcul modifiable.

Avertissement : exemple de calcul à but pédagogique

Cette page présente un exemple de calcul destiné à l’apprentissage de la justification élémentaire des éléments de structure. Elle ne constitue pas un outil de dimensionnement d’ouvrages réels : les hypothèses sont volontairement simplifiées (compression parfaitement centrée, pas de moment, pas de séisme) et les résultats ne sont pas vérifiés pour un projet donné.

NEOGENESIS décline toute responsabilité quant à l’utilisation de ces calculs dans des projets qui ne sont pas contrôlés par NEOGENESIS. Le seul moyen d’engager notre responsabilité est de faire valider ces calculs par nos ingénieurs dans le cadre d’une mission de contrôle technique.

1. Le problème : un poteau élancé résiste moins qu’un poteau trapu

Deux poteaux de même section et de même béton ne supportent pas la même charge s’ils n’ont pas la même hauteur libre : le plus élancé flambe avant que le béton ne soit pleinement sollicité.

Le BAEL traduit ce phénomène par l’élancement mécanique λ, un nombre sans dimension qui compare la longueur de flambement du poteau à la « raideur » de sa section (son rayon de giration). Plus λ est grand, plus la charge que le poteau peut réellement supporter s’éloigne de sa résistance théorique en compression simple.

2. Le mécanisme : un coefficient réducteur α qui dépend de l’élancement

Longueur de flambement et élancement

On note l₀ la longueur libre du poteau, comptée entre faces supérieures de deux planchers consécutifs, ou de sa jonction avec la fondation à la face supérieure du premier plancher (BAEL, B.8.3,1).

Dans un bâtiment à étages contreventé par des pans verticaux (triangulations, voiles en béton armé ou maçonnerie de résistance suffisante), où la continuité des poteaux et de leur section est assurée, la longueur de flambement vaut (B.8.3,31) :

l_f = 0,7 l₀ si le poteau est, à ses extrémités, soit encastré dans un massif de fondation, soit assemblé à des poutres au moins aussi raides que lui dans le sens considéré et le traversant de part en part ;
l_f = l₀ dans les autres cas.

Si le contreventement est assuré par des ossatures (portiques), ces valeurs ne s’appliquent plus : la stabilité de forme se justifie cas par cas (B.8.3,32).

La feuille refuse une longueur de flambement inférieure à la moitié de la hauteur saisie : c’est le minimum des textes (l₀/2 pour un poteau encastré à ses deux extrémités qui ne peuvent pas se déplacer l’une par rapport à l’autre, B.8.3,2 ; l₀ ≥ 0,5 l pour un élément contreventé, expression (5.15) de l’Eurocode 2).

Avec i le rayon de giration de la section dans le sens de flambement (i = b/√12 pour un rectangle de petit côté b), l’élancement mécanique vaut :

λ = l_f / i

Domaine de la méthode forfaitaire

La méthode forfaitaire (BAEL, B.8.4,1) ne vaut que pour un poteau soumis à une « compression centrée » au sens de B.8.2,10 : en plus de l’effort normal, il ne reçoit que des moments conduisant à de petites excentricités, dont on ne tient pas compte dans la justification des éléments qui lui sont liés. Un poteau faisant partie d’un portique de contreventement n’entre pas dans cette catégorie.

Les conditions d’exécution, en particulier la qualité des coffrages, doivent en outre limiter l’imperfection de rectitude à max(1 cm ; l_f/500). Ces deux conditions ne se saisissent pas dans la feuille : elles se vérifient sur le projet.

Charge résistante ultime

N_uc = α [B_r f_c28 / (0,9 γ_b) + A f_e / γ_s]

B_r : section réduite, c’est-à-dire la section réelle amputée d’un centimètre de béton sur toute sa périphérie (ce béton d’enrobage est jugé peu fiable en compression).
A : section des seules armatures longitudinales effectivement « tenues » par des cadres à l’espacement réglementaire. Ce caractère « tenu » dépend de l’espacement réel des cadres sur les plans ou sur le chantier : l’utilisateur le déclare par une case à cocher. Une barre comprimée qui n’est pas entourée par des armatures transversales tous les 15 diamètres au plus ne compte pas (A.4.1,2).

Lorsque λ dépasse 35, le BAEL (article B.8.4,1), sauf justification plus précise, ne compte que les armatures qui augmentent le plus efficacement la rigidité dans le sens du flambement :

les aciers d’angle pour un poteau carré, ou de rapport des côtés compris entre 0,9 et 1,1 ;
les aciers disposés le long des grands côtés pour les autres poteaux rectangulaires.

La feuille applique cette règle automatiquement.

Coefficient α

α = 0,85 / [1 + 0,2 (λ/35)²] pour λ ≤ 50
α = 0,60 (50/λ)² pour 50 < λ ≤ 70

Au-delà de λ = 70, la méthode forfaitaire ne s’applique plus : il faut un calcul de flambement plus complet.

Ces valeurs supposent que plus de la moitié des charges est appliquée après 90 jours. Si elle l’est avant 90 jours, α est divisé par 1,10 ; si la majeure partie des charges est appliquée avant 28 jours, α est divisé par 1,20 et f_c28 est remplacé par f_cj, résistance à l’âge j du chargement (B.8.4,1 ; loi de f_cj en A.2.1,11). L’âge de chargement se choisit dans la feuille, selon le planning du chantier.

Enfin, les Règles BAEL ne s’appliquent qu’aux bétons de résistance caractéristique au plus égale à 60 MPa (A.1.1) : la feuille refuse de calculer au-delà.

Côté aciers, la feuille s’en tient aux nuances visées par les Règles BAEL (Fe E 215 à Fe E 500) et, en Eurocode 2, à f_yk compris entre 400 et 500 MPa (§3.2.2(3) ; l’annexe nationale n’admet 600 MPa qu’avec une justification à l’ELS, ouverture des fissures comprise, que la feuille ne fait pas).

Fig. 1 : coupe du poteau. Section rectangulaire a × b, armatures d’angle (toujours prises en compte) et armatures complémentaires le long des grands côtés. Les cotes se mettent à jour avec la feuille de calcul.

3. Les étapes de la justification

Classement : l’élément est-il un poteau ou un voile ? La feuille ne traite que les poteaux.
Élancement λ, à partir de la longueur de flambement et du rayon de giration du petit côté.
Coefficient α, selon que λ est inférieur ou supérieur à 50 (au-delà de 70, la méthode sort de son domaine).
Section d’aciers prise en compte : seules les barres réellement tenues par des cadres à l’espacement réglementaire comptent, même si d’autres barres sont physiquement présentes.
Charge résistante N_uc, comparée à la charge pondérée N_u = 1,35 G + 1,5 Q, combinaison unique dans les cas les plus courants (B.8.2,11).
Dispositions constructives (A.8.1) : sections minimale et maximale d’armatures longitudinales, espacement maximal des cadres.

L’exemple traité

Section	a × b = 1,00 × 0,40 m
Hauteur	l₀ = 3,00 m (BAEL) ; la même valeur est retenue pour la hauteur l de l’Eurocode 2, pour simplifier
Longueur de flambement	l_f = 0,7 × 3,00 = 2,10 m (poteau assemblé à des poutres au moins aussi raides que lui)
Charges	G = 1 200 kN, Q = 400 kN, soit N_u = 2 220 kN
Armatures	4 HA16 d’angle + 6 HA12 complémentaires (trois par grand côté), toutes tenues par des cadres et des épingles : A = 14,83 cm²
Matériaux	béton 25 MPa, acier 500 MPa
Chargement	plus de la moitié des charges appliquée après 90 jours (hypothèse de l’exemple)

Classement. C’est bien un poteau et non un voile : a = 1,00 m ≤ 4 b = 1,60 m et l = 3,00 m ≥ 3 a = 3,00 m.

BAEL 91. λ = 18,2 et α = 0,806. La résistance est assurée avec une large marge (N_uc ≈ 6 080 kN). La section minimale, 4 cm² par mètre de périmètre soit 11,2 cm², est atteinte (A.8.1,21). Si plus de la moitié des charges était appliquée avant 90 jours, α deviendrait 0,733 et N_uc ≈ 5 530 kN, toujours suffisant.

Eurocode 2. L’effort normal réduit n = 0,33 et le ratio mécanique d’armatures ω = 0,097 donnent λ_lim = 18,6, supérieur à λ = 18,2 : les effets du second ordre peuvent être négligés. La méthode simplifiée du guide FD P18-717 donne α = 0,792 et N_Rd ≈ 5 380 kN ; A_s,min = 8,0 cm². Le guide admet la même longueur de flambement l₀ = 0,7 l pour un poteau d’étage courant dont la raideur n’est pas prise en compte dans le contreventement et qui est correctement connecté en tête et en pied à des éléments de raideur supérieure ou égale, la hauteur l se mesurant du dessus de la dalle inférieure à la sous-face de la dalle ou de la poutre supérieure.

La feuille affiche « Toutes les vérifications sont satisfaites » dans les deux référentiels.

Espacement des barres longitudinales

Trois barres intermédiaires par grand côté donnent un entre-axes d’environ 22 cm, inférieur à la distance maximale du BAEL, min(b + 10 cm ; 40 cm) = 40 cm (A.8.1,22). Une seule barre par grand côté laisserait environ 45 cm.
En Eurocode 2, chaque barre intermédiaire se trouve à plus de 150 mm d’une barre d’angle : elle doit donc être tenue par une épingle (§9.5.3(6)), ce que traduit la case « tenues » cochée.
La feuille ne vérifie pas elle-même cet espacement : il se contrôle sur le plan de ferraillage. Elle refuse seulement un nombre de barres qui ne tient pas sur un côté, à distance libre minimale entre barres (au moins le diamètre au BAEL, A.7.2,5 ; au moins max(φ ; 20 mm) en Eurocode 2, §8.2(2)), enrobage non compté.

Et si le poteau est plus élancé ?

Avec l_f = 4,50 m (λ ≈ 39) :

BAEL : la méthode forfaitaire reste applicable, N_uc ≈ 5 140 kN ;
Eurocode 2 : λ dépasse λ_lim, le second ordre n’est plus négligeable, mais la méthode simplifiée du guide le prend en compte : α = 0,616 et N_Rd ≈ 4 190 kN, toujours supérieur à N_Ed.

Notations

l₀, l_f	hauteur libre et longueur de flambement du poteau
l	hauteur de l’élément (classement poteau ou voile)
a, b	grande et petite dimension de la section rectangulaire (b dans le sens de flambement considéré)
i	rayon de giration de la section = b/√12
λ	élancement mécanique = l_f/i
α	coefficient réducteur de résistance, fonction de λ
B_r	section réduite (section réelle moins 1 cm de béton sur toute la périphérie)
A	section des armatures longitudinales effectivement tenues par des cadres
N_uc	charge résistante ultime du poteau
N_u	charge pondérée appliquée = 1,35 G + 1,5 Q

BAEL 91 et Eurocode 2 : ce qui change, ce qui ne change pas

1. Poteau ou voile

L’Eurocode 2 (§5.3.1(7)) définit le poteau par deux conditions :

a ≤ 4 b et l ≥ 3 aa : grand côté, b : petit côté, l : hauteur de l’élément

Sinon, il convient de le considérer comme un voile, avec les dispositions constructives du §9.6 au lieu de celles du §9.5. Le BAEL 91 ne donne pas de critère chiffré : il exclut de son champ les murs et parois en béton banché, qui relèvent du DTU 23.1 (B.8.0). La feuille applique le critère de l’Eurocode 2 dans les deux référentiels, comme domaine d’emploi, et n’effectue aucun calcul si l’élément est un voile.

En zone sismique, l’Eurocode 8 (NF EN 1998-1, §5.1.2) retient un critère voisin pour les murs (rapport longueur/épaisseur supérieur à 4) et définit le poteau comme un élément supportant des charges gravitaires par compression ou soumis à un effort normal réduit ν_d supérieur à 0,1.

2. Faut-il tenir compte du second ordre ?

L’Eurocode 2 (§5.8.3.1) permet de négliger les effets du second ordre si λ est inférieur à λ_lim :

λ < λ_lim = 20 · A · B · C / √nn = N_Ed / (A_c f_cd) : effort normal relatif

A = 0,7 à défaut de connaître le fluage effectif ;
B = √(1 + 2ω), avec ω = A_s f_yd / (A_c f_cd) le ratio mécanique d’armatures, A_s étant l’aire totale des armatures longitudinales (B = 1,1 seulement si ω n’est pas connu) ; la feuille n’y compte que les barres tenues, ce qui réduit λ_lim et va dans le sens de la sécurité ;
C = 0,7, valeur imposée pour un poteau contreventé dont les moments du premier ordre ne proviennent que des imperfections.

L’annexe nationale retient cette expression recommandée. Avec B = 1,1, λ_lim = 10,8/√n : environ 24 pour n = 0,2, 15 pour n = 0,5 et 10,8 pour n = 1.

La méthode forfaitaire du BAEL, elle, n’a pas de seuil « poteau court » : son coefficient α intègre forfaitairement le flambement dès les faibles élancements, jusqu’à λ = 70.

3. Résistance : méthode simplifiée du guide FD P18-717

Pour les poteaux rectangulaires courants de bâtiment, le guide d’application FD P18-717 (commentaire de 5.8.5 (1), Tableau 3) donne une méthode simplifiée, présentée comme enveloppe de la méthode (b) de 5.8.5 retenue par l’annexe nationale :

N_Rd = k_h k_s α [b h f_cd + A_s f_yd]
α = 0,86 / [1 + (λ/62)²] pour λ ≤ 60
α = (32/λ)^1,3 pour 60 < λ ≤ 120

k_h tient compte de la faible épaisseur : (0,75 + 0,5 h)(1 − 6 ρ δ) si h < 0,50 m, ρ étant le pourcentage d’armatures et δ l’enrobage relatif. À défaut de connaître ρ et δ, le guide admet k_h = 0,93 à titre conservatoire. La formule ne pouvant dépasser 0,75 + 0,5 h, qui est inférieur à 0,93 si h < 0,36 m, la feuille retient min(0,93 ; 0,75 + 0,5 h).
k_s concerne les aciers de limite d’élasticité supérieure à 500 MPa lorsque λ > 40 ; la feuille limitant f_yk à 500 MPa, k_s = 1.
f_cd = α_cc f_ck / γ_c, avec α_cc = 1 (valeur recommandée retenue par l’annexe nationale, §3.1.6) et γ_c = 1,5.

Dans cette formule, h est l’épaisseur dans la direction du flambement et A_s la section des armatures situées à la distance d’ des parois, en deux lits symétriques. La feuille mène donc le calcul dans les deux directions principales (§5.8.2(4)) :

sens du petit côté b : barres d’angle et barres complémentaires des grands côtés ;
sens du grand côté a : seules les barres d’angle forment les deux lits, les barres complémentaires étant réparties le long des faces parallèles à ce sens ;
N_Rd retenu : la plus faible des deux valeurs. Sur l’exemple, le sens b gouverne (5 380 kN contre 5 950 kN). Pour un poteau carré de 0,40 × 0,40 m avec le même ferraillage, c’est le sens a : 2 221 kN au lieu de 2 439 kN.

Cette formule intègre le flambement et les imperfections géométriques : elle vaut pour un poteau court comme pour un poteau élancé, jusqu’à λ = 120. Ses conditions d’emploi :

poteau bi-articulé sous charge centrée (longueur de flambement l₀) ;
20 ≤ f_ck ≤ 50 MPa ;
épaisseur h ≥ 0,15 m dans le sens du flambement ;
armatures symétriques par moitié sur chaque face, à une distance d’ ≤ min(0,30 h ; 100 mm) de la paroi ;
chargement à au moins 28 jours.

Elle remplace avantageusement le calcul en compression pure N_Rd = A_c f_cd + A_s σ_s, qui ignore l’excentricité minimale e₀ = max(h/30 ; 20 mm) imposée par §6.1(4) et surestime nettement la résistance (7 260 kN au lieu de 5 380 kN pour l’exemple). La section réduite B_r du BAEL n’a pas d’équivalent en Eurocode 2, qui travaille sur la section brute.

4. Dispositions constructives

A_s,min = max(0,10 N_Ed/f_yd ; 0,002 A_c) et A_s,max = 4 % A_c hors recouvrements (§9.5.2, valeurs recommandées retenues par l’annexe nationale) ;
diamètre des barres longitudinales au moins égal à φ_min = 8 mm (§9.5.2(1)) ;
espacement des armatures transversales au plus égal à min(20 φ_l,min ; b ; 400 mm), φ_l,min étant le plus petit diamètre des barres longitudinales (§9.5.3(3)) ; cet espacement est multiplié par 0,6 sur une hauteur égale à la plus grande dimension de la section au-dessus et au-dessous des poutres et des dalles, ainsi que dans les recouvrements de barres de diamètre supérieur à 14 mm (§9.5.3(4)) ; pour l’exemple, 24 cm en partie courante et 14,4 cm sur 1,00 m aux extrémités.

4. Ce qu’il faut retenir

Au sens de l’Eurocode 2 (§5.3.1(7)), un élément dont le grand côté dépasse 4 fois le petit, ou dont la hauteur est inférieure à 3 fois le grand côté, n’est pas un poteau mais un voile.
L’élancement pénalise la résistance dès les faibles valeurs, puis de plus en plus vite : α vaut 0,85 pour λ = 0, 0,71 pour λ = 35, 0,60 pour λ = 50 et 0,31 pour λ = 70.
Seules les armatures réellement tenues par des cadres correctement espacés comptent dans le calcul : des barres mal ligaturées ne servent à rien vis-à-vis du flambement, même si elles sont bien présentes et bien ancrées.
Le BAEL traite le flambement par un coefficient α forfaitaire jusqu’à λ = 70 ; l’Eurocode 2 par un critère λ_lim au-delà duquel le second ordre doit être pris en compte. Pour les poteaux courants de bâtiment, la méthode simplifiée du guide FD P18-717 le fait directement, jusqu’à λ = 120. Sur l’exemple, elle donne 5 380 kN, contre 6 080 kN par la méthode forfaitaire du BAEL.
Au-delà de λ = 70, la méthode forfaitaire du BAEL sort de son domaine : il faut une méthode de calcul du flambement plus complète, comme en Eurocode 2 au-delà de λ_lim.

5. Références

Règles BAEL 91 révisées 99 (DTU P 18-702) : domaine d’application (article A.1.1), résistance du béton à j jours (article A.2.1,11), armatures comprimées prises en compte (article A.4.1,2), exclusion des murs en béton banché (article B.8.0), compression centrée et combinaison d’actions (article B.8.2,1), longueur de flambement (article B.8.3), distance libre entre armatures (article A.7.2,5), méthode forfaitaire de calcul des poteaux (article B.8.4,1), dispositions constructives des poteaux (article A.8.1 : sections minimale et maximale, espacement des barres et des cadres).
NF EN 1992-1-1 (Eurocode 2) et son annexe nationale française : §3.1.6 (f_cd), §3.2.2(3) (domaine de f_yk), §5.8 (effets du second ordre avec effort normal, vérification dans chaque direction : §5.8.2(4)), §5.8.3.2 (longueur efficace), §5.8.3 (critères de négligeabilité des effets du second ordre), §6.1 (limitation des déformations en compression, excentricité minimale), §5.3.1 (définition du poteau et du voile), §8.2 (espacement des barres), §9.5 (dispositions constructives des poteaux).
NF EN 1998-1 (Eurocode 8) : §5.1.2 (définitions du mur et du poteau en zone sismique), cité à titre indicatif.
FD P18-717 (août 2021), guide d’application des normes NF EN 1992 : longueur de flambement des poteaux d’étages courants l₀ = 0,7 l (commentaire de 5.8.3.2 (2)) et formule simplifiée des poteaux courants de bâtiment (commentaire de 5.8.5 (1), Tableau 3).

NEOPEDIA · en pratique

Sur les poteaux élancés (rez-de-chaussée de parkings, halls à grande hauteur libre), nos ingénieurs vérifient que les effets du second ordre sont bien pris en compte, et contrôlent que l’espacement des cadres correspond bien aux armatures effectivement comptabilisées dans la résistance.

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6. Feuille de calcul