Flexion simple d’une section rectangulaire : ELU et ELS pas à pas

Flexion simple d’une section rectangulaire : dimensionner les aciers tendus à l’ELU, vérifier les contraintes à l’ELS

C’est le calcul le plus fréquent du béton armé : une poutre soumise à un moment fléchissant, sans effort normal. La section doit recevoir assez d’acier tendu pour équilibrer le moment à l’état limite ultime, sans épuiser le béton comprimé. On vérifie ensuite qu’en service les contraintes du béton et de l’acier restent sous leurs limites. Cet article détaille le dimensionnement sans aciers comprimés, puis la vérification des contraintes à l’état limite de service.

1. Le problème : combien d’acier faut-il tendre sous le moment ?

Sous un moment fléchissant M_u, la section travaille en couple interne : le béton comprimé en partie haute pousse, l’acier tendu en partie basse tire. Les deux forces, égales et opposées, forment un couple qui équilibre M_u.

Plus le bras de levier de ce couple est grand, moins il faut d’acier. Mais ce bras de levier dépend de la hauteur de béton comprimé, qui dépend elle-même de la quantité d’acier. Le calcul lève cette interdépendance à l’aide d’un nombre sans dimension, le moment réduit μ.

2. Le mécanisme : moment réduit à l’ELU, contraintes réelles à l’ELS

Domaine d’emploi

La méthode suppose que les sections planes restent planes. Elle vaut pour la section courante d’une poutre, hors des zones de discontinuité (appuis, charges concentrées, ouvertures) :

• Eurocode 2 (§5.3.1(3)) : une poutre est un élément dont la portée L est au moins égale à 3 fois la hauteur totale h ; sinon, c’est une poutre-cloison, avec des dispositions constructives particulières (§9.7), que l’Eurocode 2 permet de calculer par un modèle bielles et tirants (§5.6.4).
• BAEL 91 (annexe E.5.0 et B.6.8,1) : une poutre dont la hauteur est au moins égale à la moitié de la portée est une paroi fléchie, qui relève de règles particulières.

La feuille demande donc la hauteur totale h et la portée L, et ne calcule pas hors de ce domaine. Elle traite un moment positif (fibre supérieure comprimée) sans effort normal.

Résistances de calcul

• BAEL 91 (A.4.3,41) : f_bu = 0,85 f_c28 / (θ γ_b), avec γ_b = 1,5 et θ = 1 pour des charges appliquées plus de 24 heures (hypothèse de la feuille) ; f_ed = f_e / 1,15 (A.4.3,2).
• Eurocode 2 (§3.1.6 et Tableau 2.1N) : f_cd = α_cc f_ck / 1,5, l’annexe nationale retenant la valeur recommandée α_cc = 1 ; f_yd = f_yk / 1,15.

Moment réduit, axe neutre et section d’acier

Les deux référentiels admettent un diagramme rectangulaire des contraintes du béton comprimé, de hauteur 0,8 y_u (y_u : distance de l’axe neutre à la fibre la plus comprimée). Au BAEL, la contrainte vaut f_bu (A.4.3,42) ; à l’Eurocode 2, elle vaut η f_cd avec λ = 0,8 et η = 1 pour f_ck ≤ 50 MPa (§3.1.7(3)). L’équilibre de la section donne :

Ces formules sont exactes pour le diagramme rectangulaire. On rencontre aussi l’approximation z ≈ (1 − 0,6 μ) d : elle donne un bras de levier trop grand, donc une section d’acier trop faible, dès que μ dépasse 0,278 (écart de 0,5 % à μ = 0,3). La feuille ne l’utilise pas.

Faut-il des aciers comprimés ?

L’acier tendu travaille à f_ed tant que son allongement atteint f_ed/E_s (E_s = 200 000 MPa) lorsque le béton comprimé atteint son raccourcissement ultime de 3,5 ‰. Cette condition fixe une hauteur relative limite α_R et un moment réduit limite μ_R :

• acier de 400 MPa (f_ed = 348 MPa) : α_R = 0,668 et μ_R = 0,392 ;
• acier de 500 MPa (f_ed = 435 MPa) : α_R = 0,617 et μ_R = 0,372.

Si μ ≤ μ_R (soit α ≤ α_R), aucun acier comprimé n’est nécessaire. Au-delà, il faut des aciers comprimés ou une section plus grande : cette feuille ne traite pas ce cas et ne donne alors aucun résultat de dimensionnement.

Sections minimale et maximale

• BAEL 91 (A.4.2,1, condition de non-fragilité d’une section rectangulaire fléchie) : A ≥ 0,23 b₀ d f_t28/f_e, avec f_t28 = 0,6 + 0,06 f_c28 (A.2.1,12).
• Eurocode 2 (§9.2.1.1) : A ≥ A_s,min = 0,26 b₀ d f_ctm/f_yk, avec f_ctm = 0,30 f_ck^2/3 (Tableau 3.1) ; l’annexe nationale ne retient que cette expression. La section d’armatures ne doit pas dépasser A_s,max = 0,04 b₀ h ; la feuille l’applique à la somme A + A’.

État limite de service : contraintes réelles

En service, on raisonne en contraintes sur la section fissurée : béton tendu négligé, matériaux élastiques, acier compté pour n = 15 fois sa surface. Ce coefficient d’équivalence est une convention du BAEL (A.4.5,1) ; pour l’Eurocode 2, le guide FD P18-717 (clauses 7.2 et 7.3) admet n = 15 pour les bétons courants quand une grande précision n’est pas nécessaire.

La position de l’axe neutre y, avec les aciers réellement en place, est la racine positive de :

M_ser est le moment sous les combinaisons de service de l’article A.3.3,3 au BAEL, sous la combinaison caractéristique en Eurocode 2 (§7.2).

Limites de contraintes

• BAEL 91 : σ_bc ≤ 0,6 f_c28 (A.4.5,2). Pour l’acier, aucune limite en fissuration peu préjudiciable (A.4.5,32) ; en fissuration préjudiciable, σ_s ≤ ξ = min(2/3 f_e ; max(0,5 f_e ; 110 √(η f_t28))), avec η = 1,6 pour les barres HA, et barres les plus proches des parois de diamètre au moins 6 mm (A.4.5,33) ; en fissuration très préjudiciable, σ_s ≤ 0,8 ξ et diamètre au moins 8 mm (A.4.5,34).
• Eurocode 2 (§7.2, valeurs recommandées retenues par l’annexe nationale) : σ_s ≤ 0,8 f_yk sous combinaison caractéristique ; σ_c ≤ 0,6 f_ck sous la même combinaison dans les parties exposées aux classes XD, XF et XS, limite que la feuille applique dans tous les cas, par prudence.

3. Les étapes de la justification

1. Domaine d’emploi : l’élément est-il une poutre (et non une poutre-cloison ou une paroi fléchie) ?
2. Moment réduit μ, comparé au moment réduit limite μ_R : c’est cette comparaison qui dit si des aciers comprimés sont nécessaires.
3. Axe neutre α et bras de levier z à l’ELU.
4. Section d’aciers tendus A, portée au besoin à la section minimale, comparée à la section réellement mise en place (et, en Eurocode 2, à la section maximale).
5. Axe neutre y à l’ELS, pour la section fissurée réellement armée (aciers mis en place, y compris un lit comprimé éventuel).
6. Inertie fissurée I et pente K = M_ser/I du diagramme des contraintes.
7. Contrainte du béton σ_bc, comparée à sa limite.
8. Contrainte de l’acier tendu σ_s, comparée à sa limite.

Notations

L’exemple traité

Domaine. C’est bien une poutre : L = 6,00 m ≥ 3 h = 1,95 m (Eurocode 2) et h = 0,65 m < L/2 = 3,00 m (BAEL).

BAEL 91. f_bu = 14,17 MPa, μ = 0,243 ≤ μ_R = 0,372 : pas d’aciers comprimés. α = 0,354, z = 0,515 m, A = 13,84 cm² (section minimale 1,45 cm²). En service, y = 0,276 m, σ_bc = 12,5 MPa ≤ 15 MPa et σ_s = 221 MPa ≤ ξ = 250 MPa.

Eurocode 2. f_cd = 16,67 MPa, μ = 0,207 ≤ 0,372 ; α = 0,293, z = 0,530 m, A = 13,46 cm² (A_s,min = 2,00 cm², A_s,max = 65 cm²). Les contraintes de service sont les mêmes qu’au BAEL (même n = 15) : σ_c = 12,5 MPa ≤ 15 MPa et σ_s = 221 MPa ≤ 400 MPa.

Les 4 HA 25 en place couvrent la section requise dans les deux référentiels, et toutes les vérifications de la feuille sont satisfaites.

Second exemple. Le bouton « Second exemple » charge une section de 0,40 × 0,65 m (d = 0,59 m), armée de 8 HA 25 tendus et de 4 HA 16 comprimés (c’ = 5 cm), sous M_ser = 500 kN·m. On trouve y = 0,279 m, I = 922 565 cm⁴, σ_bc = 15,1 MPa et σ_s = 253 MPa. La contrainte du béton dépasse légèrement 0,6 × 25 = 15 MPa dans les deux référentiels, et σ_s dépasse ξ = 250 MPa en fissuration préjudiciable au BAEL : l’ELS devient dimensionnant alors que l’ELU est satisfait. Le moment ultime retenu, M_u = 675 kN·m = 1,35 M_ser, est le plus faible compatible avec les combinaisons d’actions pour une poutre sous charges permanentes et variables toutes défavorables (combinaison fondamentale : BAEL A.3.3,21, expression 6.10 de la NF EN 1990 retenue par son annexe nationale ; combinaison de service : BAEL A.3.3,3, combinaison caractéristique) : (1,35 G + 1,5 Q)/(G + Q) est compris entre 1,35 et 1,5. Avec ce moment, μ = 0,342 au BAEL et 0,291 en Eurocode 2, et les 8 HA 25 (39,27 cm²) couvrent la section requise (33,70 et 31,96 cm²).

4. Ce qu’il faut retenir

• Le moment réduit μ résume en un seul nombre si la section est bien proportionnée : plus μ est petit, plus le bras de levier est grand et moins il faut d’acier.
• Le besoin d’aciers comprimés se décide par μ > μ_R, soit α > α_R ; μ_R dépend de l’acier (0,392 pour 400 MPa, 0,372 pour 500 MPa). Dans l’exemple, μ = 0,243 au BAEL : la section est loin de cette limite.
• Le bras de levier z = d (1 − 0,4 α) est exact pour le diagramme rectangulaire ; l’approximation z ≈ (1 − 0,6 μ) d n’est pas du côté de la sécurité au-delà de μ = 0,278.
• Le dimensionnement ELU et la vérification ELS répondent à deux questions différentes : l’ELU évite la ruine, l’ELS limite les contraintes en service. Une section correcte à l’ELU peut dépasser les limites de service, comme le montre le second exemple.
• Le coefficient d’équivalence n = 15 est une convention de calcul, pas une propriété physique exacte des matériaux.

5. Références

• Règles BAEL 91 révisées 99 (DTU P 18-702, Fascicule 62, titre I, section I du CCTG) : domaine d’application (A.1.1), résistance à la traction f_tj (A.2.1,12), module E_s (A.2.2,1), condition de non-fragilité (A.4.2,1), hypothèses et diagrammes de l’ELU (A.4.3,2, A.4.3,41, A.4.3,42), états limites de service (A.4.5,1, A.4.5,2, A.4.5,32 à A.4.5,34), parois fléchies (B.6.8,1 et annexe E.5.0).
• NF EN 1992-1-1 (Eurocode 2) et son annexe nationale française (NF EN 1992-1-1/NA, mars 2016) : coefficients partiels (§2.4.2.4, Tableau 2.1N), caractéristiques du béton (Tableau 3.1), résistance de calcul f_cd (§3.1.6), diagramme rectangulaire (§3.1.7(3)), aciers (§3.2.2(3)P, §3.2.7), définition de la poutre (§5.3.1(3)), flexion (§6.1), limitation des contraintes (§7.2), sections minimale et maximale d’armatures (§9.2.1.1).
• FD P18-717 (août 2021), guide d’application des normes NF EN 1992 : coefficient d’équivalence (clauses 7.2 et 7.3).

6. Feuille de calcul