Objet

Calcul des sections circulaires pleines ou annulaires en béton armé (diamètre D, diamètre intérieur D_i), armées d'une couronne de barres réparties uniformément sur un cercle, soumises à la flexion simple ou composée, à l'effort tranchant et à la torsion :

• section de la couronne à l'état limite ultime selon le règlement choisi en tête de la saisie : règles BAEL 91 révisées 99, ou NF EN 1992‑1‑1 et son annexe nationale française ;
• contraintes dans l'acier et le béton à l'état limite de service, comparées aux contraintes admissibles du règlement choisi ;
• ferraillage minimal, proposition de barres (avec contrôle des enrobages sur les deux parois d'un anneau) et diagramme d'interaction N‑M ;
• effort tranchant et torsion à l'état limite ultime (cerces ou spirale, armatures longitudinales de torsion).

Règlement (décision du 01/10/2026, version 1.6)

• Un seul référentiel par calcul, choisi dans le champ « Règlement » de la saisie : BAEL 91 révisé 99 ou Eurocode 2. La saisie, les résultats, les sections retenues, le ferraillage proposé, le verdict et la note ne portent que sur ce référentiel. Pour comparer les deux, faire deux calculs. Le § 1 de la note indique le règlement retenu ; un bordereau antérieur à la version 1.6 s'ouvre en BAEL.
• En mode Eurocode 2, f_ck et f_yk remplacent f_cj et f_e ; la fissuration BAEL, θ, γ_b, γ_s et les armatures inclinées à 45° n'apparaissent pas ; les barres proposées respectent l'espacement libre max(Ø ; d_g + 5 mm ; 20 mm) (8.2(2)) ; le diamètre maximal des cerces (D/35, b₀/10) est une disposition reprise du BAEL, signalée ; au changement de règlement, les résistances non saisies reprennent celles de l'autre référentiel et les choix de barres et de cerces sont remis à zéro.
• NF EN 1992‑1‑1 (2005) et son annexe nationale NF EN 1992‑1‑1/NA, retenue à défaut d'annexe nationale marocaine ; paramètres nationaux utilisés : α_cc = 1 ; v_min = 0,053/γ_c k^3/2 √f_ck ; k₁ = 0,6 et k₃ = 0,8 pour les contraintes ELS (7.2).
• Fissuration BAEL retenue par défaut : peu préjudiciable (décision du gérant du 05/10/2026, confirmée le 06/10/2026 : toutes les feuilles sauf PCont, MS et PElast ; aucune limite d'acier à l'ELS, limite de τ_u la plus élevée). Choix à adapter à l'exposition (un pieu en sol agressif relève plutôt de la fissuration préjudiciable) ; la valeur retenue est rappelée dans les résultats instantanés et dans la note.
• Domaine (décision du 06/10/2026) : f_c28 ≤ 60 MPa en BAEL et f_ck ≤ 60 MPa en EC2 ; au‑delà, la case est en erreur « hors domaine de la feuille ». f_tj = 0,6 + 0,06 f_cj (A.2.1,12) ; raccourcissement ultime du béton BAEL ε_bc = 3,5 ‰ jusqu'à 40 MPa et min(3,5 ; 4,5 − 0,025 f_cj) ‰ au‑delà (A.4.3,41).

Étendue des vérifications selon le règlement

ELU : méthode

• Béton : diagramme parabole‑rectangle intégré sur le disque ou l'anneau réel, résistance nulle en traction, f_bu = 0,85 f_cj / (θ γ_b) (BAEL) ou f_cd = α_cc f_ck/γ_c (EC2). Acier : diagramme bilinéaire à palier horizontal ; allongement limité à 10 ‰ en BAEL (A.4.3,2), sans limite de déformation en EC2 (3.2.7(2)b).
• Diagramme des déformations passant par l'un des pivots A, B ou C (3/7 de D pour le pivot C) ; le programme retient la plus petite section de couronne qui équilibre (N_u, M_u).
• Efforts N et M au centre de la section. N > 0 : compression. La section étant symétrique, seul |M| intervient. Les sollicitations saisies sont les efforts de calcul dans la section : elles doivent déjà comprendre les imperfections géométriques et, pour un poteau ou un pieu élancé, les effets du second ordre (BAEL A.4.3,5 et A.4.4 ; EC2 5.2 et 5.8). SecC ne traite pas le flambement : utiliser la feuille Colonne.

ELS : méthode

• Section homogénéisée, béton tendu négligé, avec le coefficient d'équivalence n saisi en BAEL (15 par défaut) et, en EC2, α_e = E_s/E_cm calculé (E_cm = 22 000 ((f_ck + 8)/10)^0,3 du tableau 3.1, E_s = 200 000 MPa ; 7.1(2), chargement de courte durée de la combinaison caractéristique ; décision du 06/10/2026, n = 15 auparavant ; 6,35 pour f_ck = 25 MPa). Contraintes BAEL (σ̄_bc = 0,6 f_cj ; aciers tendus selon la fissuration, η = 1, 1,3 ou 1,6) ou EC2 (k₁ f_ck, k₃ f_yk). Les aciers comprimés ne sont pas limités (BAEL A.4.5,3 ; EC2 7.2(5)) : ligne « sans objet ». Les contraintes sont affichées signées (traction négative) ; la comparaison aux limites porte sur leur valeur absolue (en‑tête « |σ| ≤ limite »).
• Une seule section en place : la couronne saisie dans le bloc ELS ; un choix de barres retenu dans les résultats y est inscrit, et les vérifications ELU, ELS et « couronne en place » lisent toutes cette valeur.
• Ouverture des fissures EC2 (7.3.4) : non calculée pour les sections circulaires ou annulaires (aire tendue effective non définie par la norme pour un cercle) ; hors verdict.

Effort tranchant et torsion (ELU)

• Le BAEL et l'EC2 ne fixent pas la largeur d'une section circulaire : convention b₀ = D (section pleine) ou 2 t (anneau d'épaisseur t). Hauteur utile (corrigée le 02/10/2026, auparavant 0,8 D) : d = D/2 + 2 r_s/π avec r_s = D/2 − c, distance de la fibre la plus comprimée au centre de gravité de la demi‑couronne tendue, soit la définition de d appliquée au cercle et la valeur d'usage pour les sections circulaires (EN 1998‑2, Priestley) ; ≈ 0,75 D pour c = 0,1 D ; z = 0,9 d. Cerces ou spirale comptées pour deux branches. Formules et limites de A.5.1 (BAEL, avec f_tj* = min(f_tj ; 3,3 MPa) dans A.5.1,23) et 6.2 (EC2) ; ρ_l EC2 calculé avec la moitié de la couronne en place (section saisie dans le bloc torsion ou ELS) ou retenue (barres choisies), à défaut de la couronne requise en flexion (décision du 06/10/2026). ΔF_td = 0,5 V_Ed cot θ (6.2.3(7)) : effort de traction supplémentaire dans les aciers tendus, affiché et compté dans la couronne à couvrir (décision du 06/10/2026) ; convention du cercle : la moitié tendue d'une couronne uniforme porte cette traction, d'où 2 ΔF_td/f_yd ajoutés à la couronne (côté sécurité à la section du moment maximal, où 6.2.3(7) plafonne la traction à M_Ed,max/z). Bielles EC2 : α_cw = 1 dans V_Rd,max et T_Rd,max (6.2.3(3) : les valeurs supérieures à 1 sont réservées au béton précontraint ; un effort normal extérieur de compression n'augmente pas la résistance des bielles ; corrigé le 05/10/2026, auparavant 1 + σ_cp/f_cd).
• Torsion : section creuse équivalente circulaire. BAEL (A.5.4) : e = D/6 (anneau : min(D/6 ; t)), Ω = π (D − e)²/4, u = π (D − e) ; section pleine τ_u² + τ_T² ≤ τ̄_u², anneau τ_u + τ_T ≤ τ̄_u. EC2 (6.3.2) : t_ef = max(A/u ; 2 c), limité à l'épaisseur de l'anneau, A_k = π (D − t_ef)²/4, u_k = π (D − t_ef) ; interaction avec l'effort tranchant ; ΣA_sl nul quand (6.31) dispense du calcul.
• Armatures longitudinales de torsion ΣA_l réparties uniformément sur la couronne et ajoutées à la section de flexion (BAEL A.5.4,4 ; EC2 6.3.2(3)). Contrôle « couronne flexion + torsion » (ajouté le 05/10/2026) : la couronne retenue (barres choisies, à défaut section saisie) doit couvrir la section de flexion plus ΣA_l ; cette ligne entre dans le verdict global, le diagramme N‑M du ferraillage retenu est tracé avec la part de flexion seule (section retenue moins ΣA_l) et la couronne en place du bloc ELS est comparée à la somme flexion + torsion.
• Cerces retenues : vérifiées (section fournie ≥ section requise avec l'excédent en %, espacement ≤ maximal, diamètre ≤ maximal, et diamètre minimal de poteau) ; le résultat entre dans le verdict global. Bielles non vérifiées : aucune cerce n'est proposée ni retenue, les aciers longitudinaux de torsion ne sont pas ajoutés à la couronne proposée, les sections requises sont données pour information et la note demande le redimensionnement.
• Poteau ou pieu (N_u > 0 ou case cochée) : BAEL s_t ≤ min(15 Ø_l ; 40 cm ; D + 10 cm) et Ø_t ≥ Ø_l/3 (A.8.1,3) ; EC2 s ≤ min(20 Ø_l ; D ; 400 mm) (9.5.3(3)), réduit par 0,6 sur une longueur D de part et d'autre d'une poutre ou d'une dalle et dans les recouvrements (9.5.3(4), rappelé dans la note), Ø_t ≥ max(6 mm ; Ø_l/4) (9.5.3(1)).

Minimums et maximums

• Poteau ou pieu, dès que N_u > 0 ou case « poteau ou pieu » cochée, quel que soit l'état de déformation : BAEL A.8.1,21, max(4 cm² par mètre de parement ; 0,2 % B), le parement de l'anneau comptant ses deux faces (u = π (D + D_i)), maximum 5 % B ; EC2 9.5.2(2), max(0,10 N_Ed/f_yd ; 0,002 A_c), maximum 0,04 A_c (9.5.2(3)). Nombre minimal de barres : 6 en BAEL (A.8.1,2, section circulaire), 4 en EC2 (9.5.2(4), poteau circulaire). Pour un pieu, les dispositions propres du fascicule 62 titre V ne sont pas vérifiées par la feuille.
• Non‑fragilité BAEL : l'article est A.4.2,1 (l'A.4.2,2 traite des pièces fragiles et ne donne aucun coefficient). Sa définition : les armatures tendues doivent reprendre, à la contrainte f_e, la sollicitation qui fissure le béton (contrainte f_t28 sur la fibre la plus tendue), sollicitation prise au point de passage de la sollicitation de service la plus défavorable. Le commentaire en déduit pour la section rectangulaire en flexion simple A ≥ 0,23 b₀ d f_t28/f_e (z = 0,9 d, d ≈ 0,9 h) ; le facteur de flexion composée (e₀ − 0,455 d)/(e₀ − 0,185 d) utilisé ailleurs n'est pas écrit dans le BAEL, il se déduit des mêmes hypothèses rectangulaires. Pour le cercle, SecC n'utilise ni l'une ni l'autre : elle applique la définition directement à la couronne. Sollicitation de fissuration prise au point de passage de la sollicitation retenue, à excentricité e₀ = M/N constante : efforts (λ N ; λ |M|) avec λ (|M| v/I − N/B) = f_t (en flexion simple, M_f = f_t I/v), puis section de couronne qui équilibre (N_f ; M_f) avec le même calcul qu'à l'ELU, aciers à f_e, béton à 0,85 f_cj et coefficients de sécurité égaux à 1. Sollicitation retenue : celle de service si elle tend la section, sinon celle de l'ELU si elle la tend (chacune avec ses propres efforts) ; section entièrement tendue ou traction centrée : B f_tj/f_e ; si |M| v/I ≤ N/B, la sollicitation ne tend jamais la section : pas de minimum de flexion. EC2 : même principe que 9.2.1.1 avec f_ctm et f_yk.
• Barres proposées : Ø12 à Ø40, espacement libre ≥ max(Ø ; 1,5 c_g) avec c_g = 25 mm (A.7.2,3) en BAEL, max(Ø ; 30 mm) en EC2 (8.2(2)) ; espacement au plus min(D + 10 cm ; 40 cm) en BAEL (A.8.1,2) ; l'EC2 ne fixe pas d'espacement maximal des barres longitudinales d'un poteau : en EC2, un espacement supérieur à 40 cm est seulement signalé (information, hors verdict) ; enrobage extérieur c − Ø/2 et, pour un anneau, intérieur t − c − Ø/2 (t = (D − D_i)/2), tous deux au moins égaux à l'enrobage minimal saisi (30 mm par défaut ; BAEL A.7.1, EC2 4.4.1) : les diamètres qui ne tiennent pas entre les parois sont exclus. Si les barres retenues (à défaut le Ø12) ne respectent pas ces enrobages, une alerte s'affiche et le verdict global est « non vérifié ». Si aucune disposition ne tient alors que de l'acier est nécessaire, la feuille l'indique (« Aucune disposition proposée ») et le verdict n'est pas vérifié.
• Vérifications sans contenu : quand aucune barre n'est choisie et aucune section saisie, la section retenue est la section calculée ; le contrôle « point ELU dans le domaine » affiche alors « à prévoir » et n'entre pas dans le verdict. Quand une vérification reste à prévoir (couronne non retenue, cerces non définies alors que l'effort tranchant est traité), le verdict s'écrit « vérifié (cerces à prévoir) » ou « vérifié (couronne à prévoir) ».
• Non‑fragilité d'une section entièrement comprimée à l'ELU : si les efforts retenus pour la non‑fragilité (ceux du service quand ils tendent la section) tendent la section, la non‑fragilité est calculée comme ailleurs, en plus du minimum de poteau (audit final, 06/10/2026).
• Maximum EC2 0,04 A_c : article 9.5.2(3) pour un poteau ou un pieu, 9.2.1.1(3) sinon.
• Présentation des vérifications (socle commun) : chaque ligne donne la valeur, la limite et son taux valeur/limite ; coefficient de réserve λ = limite/valeur (plus petit des λ des lignes : λ ≥ 1 vérifié), affiché dans les résultats instantanés et au § 4.1 de la note ; la ligne au plus grand taux est marquée « dimensionnant » ; sous chaque ligne non vérifiée (ELS compris), une ligne « Risque : … Remèdes : … » avec la valeur nécessaire quand elle est calculable ; pour la flexion ELU, λ est le plus grand multiplicateur de (N_u ; M_u) dont le point reste dans le domaine N‑M de la couronne retenue. Équilibre ELU contrôlé dans la note : efforts de la couronne recalculés barre par barre (ΣN = N_b + N_s = N_u, ΣM = M_b + M_s = M_u).
• Vérifications bloquantes (pas de solution ELU, maximum d'armatures dépassé, aucune disposition de barres possible, barres hors du béton, bielles non vérifiées) : récapitulées dans les résultats instantanés et en tête des § 4 et 5 de la note.

Écarts assumés

• Domaine : SecC est une feuille de section. Le flambement des poteaux et des pieux (imperfections, élancement, second ordre) relève de la feuille Colonne ; les efforts saisis dans SecC doivent déjà en tenir compte.
• Écart assumé : largeur d'effort tranchant b₀ = D (2 t pour l'anneau), ni le BAEL ni l'EC2 ne la fixant pour un cercle (la hauteur utile suit, depuis le 02/10/2026, la valeur d'usage d = D/2 + 2 r_s/π ; b₀ d ≈ 0,75 D² pour c = 0,1 D, au lieu de 0,80 D² auparavant).
• Non‑fragilité du cercle (corrigé le 02/10/2026) : sollicitation de fissuration à excentricité de service constante, conformément à l'A.4.2,1 (la version précédente gardait l'effort normal constant ; les deux lectures coïncident en flexion simple). Écart assumé restant : coefficients de sécurité égaux à 1 dans le calcul de la couronne. Sous compression dominante (|M| v/I ≤ N/B), pas de minimum de flexion ; le minimum de poteau s'applique dès que N_u > 0.
• Écart assumé : ρ_l EC2 (6.2.2(1)) : moitié de la couronne en place ou retenue, convention du cercle (aciers tendus ancrés non identifiés barre par barre) ; à défaut de couronne saisie ou retenue, moitié de la couronne requise, en attendant le choix des barres.
• Écart assumé : torsion : section creuse équivalente circulaire, e = D/6 (BAEL) et t_ef ≤ t (EC2) : conforme à la lettre des deux textes pour un disque ; la limite t_ef ≤ t de l'anneau est celle de 6.3.1(3).
• Écart assumé : ouverture des fissures EC2 non calculée pour le cercle : maîtrise de la fissuration à justifier par les dispositions constructives (7.3.3) ou à part (écrit dans la note).
• Écart assumé : ΔF_td (6.2.3(7)) compté dans la couronne avec la convention 2 ΔF_td/f_yd (moitié tendue de la couronne), sans le plafond M_Ed,max/z : côté sécurité.
• Écart assumé : contraintes ELS EC2 avec α_e = E_s/E_cm (courte durée) : sous charges de longue durée, E_c,eff plus faible augmenterait σ_s ; la limite k₃ f_yk vise la combinaison caractéristique.
• Écart assumé : fissuration BAEL par défaut : peu préjudiciable (décision du gérant) : le BAEL A.4.5,3 laisse le choix au projeteur : choix le moins conservatif si le réglage est oublié (rappelé dans les tuiles et la note).
• Écart assumé : diamètre maximal des cerces min(D/35 ; b₀/10) (BAEL A.7.2,2) conservé en EC2 et seulement signalé ; coefficients de sécurité égaux à 1 dans la couronne de non‑fragilité ; w_k non calculé pour le cercle.

Bibliographie

Règles BAEL 91 révisées 99 (notation des articles : « A.4.5,33 »). NF EN 1992‑1‑1 (2005) et annexe nationale NF EN 1992‑1‑1/NA (notation : « 6.2.2(1) »).

Saisie des valeurs

Nombres seulement : chiffres, virgule ou point, signe moins (en tête). Les autres caractères sont refusés à la frappe ; un collage qui en contient est refusé en entier (« collage refusé : nombres seulement »). Une valeur qui n'est pas un nombre décimal est signalée « nombre invalide » et bloque le calcul.