Objet

Calcul d'une dalle en béton armé d'épaisseur constante, rectangulaire ou de contour polygonal quelconque (sommets saisis par leurs coordonnées), par la méthode des éléments finis de plaque mince :

• ouvertures rectangulaires ; appuis sur tout le contour, le long de lignes parallèles aux axes (bords ou lignes intérieures) et appuis ponctuels ; chaque liaison bloque le déplacement vertical, une rotation, ou les trois (encastrement) ;
• charges verticales : poids propre, charge uniforme sur toute la dalle, charge uniforme ou variable sur un rectangle, charge répartie sur une ligne, charge ponctuelle ; chaque charge est affectée à un cas permanent G ou d'exploitation Q ;
• déplacements, moments fléchissants et de torsion, moments principaux, efforts tranchants, réactions d'appui ;
• moments de dimensionnement de Wood et Armer, sections d'armatures à l'ELU et à l'ELS selon les règles BAEL 91 révisées 99la NF EN 1992‑1‑1 et son annexe nationale (règlement choisi en tête de la carte « Règlement et matériaux ») ;
• sections minimales, effort tranchant sans armatures, poinçonnement sous les appuis ponctuels et sous les charges ponctuelles (surface d'impact a × b saisie) ; flèche instantanée et flèche nuisible Δf_t = f_gv − f_ji + f_pi − f_gi (BAEL B.6.5,2, inerties fictives I_fi, I_fv des sections retenues) comparée nœud par nœud à la limite de B.6.5,3 (travée l/500 ou 0,5 cm + l/1000, console l/250) ; la dispense des dalles (B.7.5) n'est appliquée qu'aux dalles rectangulaires portant sur des appuis linéaires continus (chapitre B.7) : elle est sans objet pour une console, un plancher-dalle sur poteaux ou une dalle à appuis ponctuels, dont la flèche est toujours comparée à la limite (v1.11).flèches selon la NF EN 1992‑1‑1, 7.4.3 (interpolation ζ entre états non fissuré et fissuré des sections retenues, fluage, retrait, combinaison quasi permanente) : flèche totale à long terme w ≤ l/250 et flèche après construction Δw ≤ l/500 (7.4.1(4) et (5), console : FD P18‑717), comparées nœud par nœud à la portée de chaque nœud ; élancement limite l/d (7.4.2) donné à titre d'information.

Règlement de calcul

• Un seul règlement par calcul, choisi en tête de la carte « Règlement et matériaux » : BAEL 91 révisé 99 ou Eurocode 2. Il donne seul le verdict (pastille finale, conclusion de la note), les sections retenues et le ferraillage proposé ; la saisie, les résultats, la note et son pied ne citent que lui, hors dispositions reprises du BAEL signalées.
• Règlement retenu : BAEL 91 révisé 99. Étendue : flexion ELU (A.4.3) et ELS (A.4.5), sections minimales des dalles (A.8.2,41), effort tranchant sans armatures (A.5.2,2), poinçonnement (A.5.2,42), flèche nuisible (B.6.5,2 et B.6.5,3, dispense B.7.5 réservée aux dalles sur appuis linéaires continus), barres proposées (A.7.2, A.8.2,42).
• Règlement retenu : NF EN 1992‑1‑1 (2005) et son annexe nationale NF EN 1992‑1‑1/NA, retenue à défaut d'annexe nationale marocaine ; combinaisons selon la NF EN 1990 ; paramètres nationaux utilisés : α_cc = 1 ; v_min = 0,053/γ_c k^3/2 √f_ck (cas général) ou 0,34/γ_c √f_ck (dalles avec redistribution transversale, case à cocher) en 6.2.2(1) ; k₁ = 0,6 et k₃ = 0,8 (7.2) ; v_Rd,max = 0,4 ν f_cd (6.4.5(3)).
• Étendue du calcul EC2 : flexion ELU (6.1), contraintes ELS sous la combinaison caractéristique (7.2 : σ_s ≤ 0,8 f_yk, σ_c ≤ 0,6 f_ck pour les classes XD, XF, XS), sections minimales (9.3.1.1), aciers supérieurs de rive (9.3.1.2(2)), espacements maximaux (9.3.1.1(3)), effort tranchant sans armatures (6.2.2), poinçonnement (6.4, u₁ et u₀). Flèche (7.4.3, limites 7.4.1(4) et (5), élancement limite 7.4.2 à titre d'information). Non calculés : ouverture des fissures w_k (7.3), armatures d'effort tranchant ou de poinçonnement.
• Flèche selon l'Eurocode 2 (7.4.3), par intégration des courbures (v1.9) : en chaque nœud, nappe la plus fissurée (plus grande souplesse à long terme) et section d'acier retenue de cette nappe (aciers comprimés négligés), section de 1 m de largeur ; état non fissuré homogénéisé (I_I) et état fissuré (I_II) par α_e = E_s/E (E_s = 200 000 MPa) ; ζ = 1 − β (M_cr/M)², 0 si M ≤ M_cr = f_ctm I_I/v' (7.4.3(3)), β = 0,5 sous la combinaison quasi permanente (longue durée), 1 pour la flèche instantanée ; la souplesse E_cm (h³/12) [ζ/(E I_II) + (1 − ζ)/(E I_I)] de chaque nœud devient une raideur d'élément (inverse de la moyenne des quatre nœuds) et la dalle est recalculée par éléments finis, avec E_c,eff = E_cm/(1 + φ) à long terme (7.4.3(5)) et E_cm pour l'instantané ; retrait (7.4.3(6)) : 1/r_cs = ε_cs α_e S/I en états I et II, interpolé par ζ. Valeurs par défaut : φ = 2, ψ₂ = 0,3 (habitation, bureaux), ε_cs = 0,40 ‰ (forfait), comme la feuille Flèche.
• Disposition reprise du BAEL 91, signalée : diamètre des barres proposées au plus h/10 (A.7.2,1).
• Fissuration par défaut : peu préjudiciable (décision du 05/10/2026, défaut commun des feuilles de béton armé ; modifiable dans « Règlement et matériaux », à régler selon l'exposition de la dalle) ; la fissuration retenue est rappelée dans les tuiles de résultats et dans la note.
• Armatures : barres HA (η = 1,6) par défaut, ronds lisses (η = 1) au choix.
• Coefficients de sécurité fixés et affichés (combinaisons fondamentales) : γ_b = 1,5 et γ_s = 1,15 (BAEL A.4.3,41 et A.4.3,2) ; θ reste au choix selon la durée d'application des charges.
• Coefficients de sécurité fixés et affichés (situations durables et transitoires) : γ_c = 1,5 et γ_s = 1,15 (2.4.2.4).

Modèle

• Plaque mince de Kirchhoff, matériau élastique linéaire homogène (module E, coefficient de Poisson ν). Une épaisseur supérieure au cinquième de la portée sort du domaine de validité de la théorie des plaques minces.
• Éléments quadrangulaires DKQ (Kirchhoff discret, Batoz et Tahar 1982), 3 degrés de liberté par nœud : déplacement vertical w et deux rotations.
• Contour polygonal : le maillage rectangulaire passe par les abscisses et ordonnées des sommets ; les côtés parallèles aux axes sont suivis exactement, un côté incliné est approché en escalier (éléments dont le centre est dans le polygone).
• Maillage automatique en rectangles : il suit les bords, les ouvertures, les liaisons, les lignes et les surfaces d'impact des charges ; taille moyenne par défaut égale à deux fois l'épaisseur, réduite à h dans la première bande le long des lignes d'appui et du contour appuyé d'une dalle rectangulaire (pas pour un contour polygonal, où l'affinage accentuerait la singularité des angles rentrants).
• Charge ponctuelle avec surface d'impact a × b : diffusion à 45° jusqu'au feuillet moyen, charge uniforme sur (a + h) × (b + h) ; les moments ne dépendent alors plus de la maille. Sans a × b, la charge est concentrée en un nœud et les moments sont singuliers (signalé).
• Moments calculés aux points de Gauss de chaque élément, extrapolés aux nœuds et moyennés entre éléments voisins ; efforts tranchants par dérivation de ce champ lissé (T_x = ∂M_x/∂x + ∂M_xy/∂y, T_y = ∂M_xy/∂x + ∂M_y/∂y). Ce lissage sous-estime l'effort tranchant près des appuis (7 à 13 % avec une maille de 2h, contrôle sur la plaque carrée de Timoshenko) : la vérification prend la résultante √(T_x² + T_y²) majorée de 15 %. Le long d'un bord libre, l'effort tranchant de Kirchhoff n'est pas nul et devient singulier au coin d'un bord libre et d'un appui (pic de 40 à 70 % au premier nœud, dépendant du maillage) : les nœuds à moins de max(2d ; 1,1 × taille des éléments) d'un bord libre de la dalle sont écartés de la vérification (v1.12), comme les zones de poinçonnement ; les bords des ouvertures ne sont pas traités (côté sécurité).
• Au-dessus d'un appui ponctuel dimensionné, les moments de Wood et Armer sont moyennés sur le rectangle (a + 2d) × (b + 2d) avant le ferraillage (le pic au nœud d'appui est une singularité du modèle).
• Réactions : efforts nodaux aux degrés de liberté bloqués ; pour une ligne d'appui, densité par mètre obtenue en divisant la réaction nodale par la longueur d'influence du nœud. À l'intersection de deux lignes d'appui et près d'un appui ponctuel, la densité de réaction de la théorie des plaques minces devient très grande : c'est une singularité du modèle, pas une valeur de dimensionnement.

Conventions

• Axe X horizontal, axe Y vertical, origine au coin inférieur gauche de la dalle ; charges positives vers le bas (charges surfaciques en kN/m², linéiques en kN/m) ; flèche w positive vers le bas.
• Moments par mètre : M_x fléchit dans la direction X (armatures parallèles à X) ; M > 0 tend la face inférieure. M_xy : moment de torsion.

Saisie des valeurs

Nombres seulement : chiffres, point ou virgule indifféremment, signe moins en tête. Les autres caractères sont refusés à la frappe ; un collage qui en contient est refusé en entier, rien n'est inséré (« collage refusé : nombres seulement »). Une valeur mal formée (par exemple « 1,2,3 ») est signalée « nombre invalide » et bloque le calcul.

Combinaisons appliquées

Ferraillage

• Moments de Wood et Armer : face inférieure M_x^* = M_x + |M_xy|, M_y^* = M_y + |M_xy| (avec les corrections habituelles quand l'un devient négatif) ; face supérieure de même avec M − |M_xy|.
• Sections par bande de 1 m, sans armatures comprimées ; hauteurs utiles d₁ = h − c pour la direction du premier lit et d₂ = d₁ − Ø pour l'autre, sur chaque face (c : distance du parement à l'axe des aciers).
• BAEL 91 : ELU (A.4.3, diagramme rectangle simplifié), ELS (A.4.5 : σ_bc ≤ 0,6 f_cj ; σ_s ≤ ξ = min(2/3 f_e ; max(0,5 f_e ; 110 √(η f_tj))) en fissuration préjudiciable (A.4.5,33), 0,8 ξ en fissuration très préjudiciable (A.4.5,34) ; en fissuration peu préjudiciable, contrainte du béton vérifiée avec les aciers de l'ELU), section minimale des dalles (A.8.2,41), effort tranchant sans armatures d'âme (A.5.2,2 : τ_u ≤ 0,07 f_cj/γ_b ; au-delà, la feuille conclut « non vérifié » et ne propose pas d'armatures d'effort tranchant), poinçonnement (A.5.2,42 : Q_u ≤ 0,045 u_c h f_cj/γ_b, u_c au feuillet moyen). Domaine : f_c28 ≤ 60 MPa ; au-delà de 40 MPa, raccourcissement ultime ε_bc = min(3,5 ; 4,5 − 0,025 f_cj) ‰ (A.4.3,41) dans le pivot B ; f_tj = 0,6 + 0,06 f_cj. Section maximale 0,04 b h par direction : disposition de l'EC2 (9.2.1.1(3)) reprise à titre d'information.
• EC2 (domaine de la feuille : f_ck ≤ 60 MPa) : ELU (diagramme rectangulaire de 3.1.7(3), λ et η réduits au-delà de 50 MPa, acier à palier horizontal, μ limite fonction de ε_yd et de ε_cu3), ELS (σ_s ≤ 0,8 f_yk ; σ_c ≤ 0,6 f_ck seulement pour les classes XD, XF, XS ; coefficient d'équivalence α_e = E_s/E_cm, E_s = 200 000 MPa et E_cm du tableau 3.1, soit 6,35 pour un C25/30, depuis la v1.12 (n = 15 auparavant) ; σ_c ≤ 0,45 f_ck sous la combinaison quasi permanente (7.2(3)) affichée à titre d'information), section maximale 0,04 b h par direction (9.3.1.1(1) et 9.2.1.1(3)), section minimale (9.3.1.1 et 9.2.1.1), 25 % du moment de travée en aciers supérieurs sur les appuis simples de rive, sur 0,2 l (9.3.1.2(2)), effort tranchant sans armatures (6.2.2), poinçonnement (6.4 : contour u₁ à 2d, v_min de l'annexe nationale 0,053/γ_c k^3/2 √f_ck (6.4.4(1) renvoyant à 6.2.2(1)), β = 1,15 / 1,4 / 1,5 selon la position de l'appui, β = 1 sous une charge ; d = (d₁ + d₂)/2 ; v_Ed au contour u₀ du poteau ≤ v_Rd,max).
• Section retenue : celle du règlement choisi et ses minimums (face inférieure partout, face supérieure là où elle est tendue, aciers supérieurs de rive compris). Pas d'armatures de répartition : les deux directions sont calculées.
• Barres proposées : HA uniformes, Ø ≤ h/10 (A.7.2,1), entraxe ≤ min(3h ; 33 cm), min(2h ; 25 cm) ou min(1,5h ; 20 cm) selon la fissuration (A.8.2,42), entraxe ≥ 7,5 cm, ce qui assure l'espacement libre max(Ø ; 1,5 c_g) avec c_g = 25 mm (A.7.2,3).
• Barres proposées : HA uniformes, entraxe ≤ espacement maximal de 9.3.1.1(3) en zone de moment maximal (min(2h ; 25 cm) dans les deux directions : dalle portant dans les deux sens, chaque direction est traitée comme principale), espacement libre ≥ max(Ø ; 30 mm) (8.2(2), d_g = 25 mm) et entraxe ≥ 7,5 cm ; Ø ≤ h/10, disposition reprise du BAEL 91 (A.7.2,1), signalée.

Résultats et coefficient de réserve

Chaque vérification est donnée avec sa valeur, sa limite et le coefficient de réserve λ = limite/valeur ; λ global = plus petite de ces valeurs (multiplicateur des charges jusqu'à la première limite atteinte, au sens des rapports affichés : pour la flèche fissurée et la contrainte du béton, valeur indicative). La vérification de plus grand rapport valeur/limite est marquée « dimensionnant » (carte de la dalle et § 4.1 de la note). Sous chaque vérification non satisfaite : risque et remèdes, avec l'épaisseur nécessaire estimée quand elle se déduit du rapport (flexion en d², effort tranchant en d, flèche en h³). Les lignes « information » (σ_c,qp, section maximale en BAEL) n'entrent ni au verdict ni dans λ. Le § 4.1 contient aussi la ligne « Équilibre » (Σ charges = Σ réactions, moments à l'origine).

Écarts assumés

• Écart assumé : coefficient de Poisson : la feuille prend le même ν (0,2 par défaut) à l'ELU et à l'ELS : le BAEL A.2.1,3 prend ν = 0 à l'ELU (béton fissuré) et 0,2 à l'ELSl'EC2 3.1.3(4) prend ν = 0,2 pour le béton non fissuré et 0 pour le béton fissuré : un seul modèle élastique pour toutes les combinaisons : côté sécurité pour les moments de flexion (ν = 0,2 les majore d'environ 20 % par rapport à ν = 0 sur une dalle carrée appuyée).
• Écart assumé : effort tranchant : dérivé du champ de moments lissé, résultante majorée forfaitairement de 15 % au lieu d'un calcul par équilibre des réactions : le BAEL A.5.2,2 visel'EC2 6.2.2 vise l'effort tranchant réel près de l'appui : la majoration couvre l'écart mesuré (7 à 13 %) avec la maille réduite à h près des appuis : côté sécurité sur les cas de contrôle.
• Écart assumé : actions permanentes favorables : depuis la v1.12, la combinaison 1,00 G + 1,5 Q est calculée à côté de 1,35 G + 1,5 Q et les sections, l'effort tranchant, les réactions et le poinçonnement sont l'enveloppe des deux (et des cas de Q par panneaux). Le coefficient de G reste le même sur toute la dalle dans chaque combinaison : le BAEL A.3.3,21 (1,35 G_max + G_min)la NF EN 1990 (tableau A1.2(B), γ_G,sup et γ_G,inf) permet de pondérer différemment les parties favorables et défavorables d'une même charge permanente (console chargée et travée arrière déchargée) : côté insécurité résiduel pour ces cas (écrit dans la note).
• Chargements alternés (v1.9) : les charges Q saisies se cumulent en une seule action Q, appliquée par panneaux délimités automatiquement par les appuis intérieurs (lignes et files de poteaux ; bande de moins de min(1 m ; 0,15 L) le long d'un bord rattachée au panneau voisin) : chaque panneau seul, deux panneaux voisins, un panneau sur deux (groupes A et B) et Q partout ; enveloppe des sections, de l'effort tranchant et des réactions (BAEL B.6.1,21EC2 5.1.3). Schéma du découpage à l'écran et dans la note. Écart assumé : choix « Q sur toute la dalle » laissé à l'utilisateur (côté insécurité pour les moments de travée des dalles continues, écrit dans la note) ; flèche calculée sous Q partout ; pas de catégories de charges Q distinctes (ψ₀).
• Modules : E_ij = 11 000 f_cj^1/3 et E_vj = 3 700 f_cj^1/3 (A.2.1,21 et 22), f_cj = f_c28 par défaut ou 1,1 f_c28 si la case est cochée ; calculés automatiquement, sans saisie de E (comme la feuille Flèche).
• Estimation : flèche de retrait : la courbure de retrait est convertie en flèche au nœud par le rapport (1/r_cs)/(1/r_élastique) appliqué à la flèche élastique quasi permanente, 1/r_élastique = M_qp/(E_cm h³/12) ; le rapport flèche/courbure est limité à l²/8 (courbure uniforme sur une portée simple l) là où le moment s'annule (bout de console, lignes de moment nul) : estimation, sur une portée simple uniformément chargée elle donne 5/48 (1/r_cs) l² au lieu de 1/8 (1/r_cs) l² pour une courbure uniforme (environ 17 % de moins sur la part de retrait).
• Écart assumé : flèche nuisible par intégration des raideurs fissurées nœud par nœud : sur une poutre-dalle de 4 m (h = 0,16 m), elle donne 3 à 4 % de moins que la méthode conventionnelle B.6.5,2 appliquée avec une inertie fictive uniforme (inertie plus grande près des appuis) : légèrement côté insécurité par rapport au calcul usuel. Moments de service de la flèche : Wood et Armer calculés sur la combinaison G + Q (v1.12).
• Écart assumé : poinçonnement près d'une ouverture : le contour de contrôle est seulement découpé par l'ouverture ; pour une ouverture à moins de 6d de l'aire chargée, la déduction du secteur délimité par les tangentes (EC2 6.4.2(3), figure 6.14) n'est pas appliquée : la feuille le signale (message et ligne du § 4.1), u à réduire à la main.
• Flèche (v1.9) : raideurs fissurées intégrées par éléments finis (raideur isotrope par élément, nappe la plus fissurée du nœud : méthode d'ingénieur, approchée pour une dalle très orthotrope) ; limites nœud par nœud selon la portée lue vers les appuis (travée : plus petite portée, plancher-dalle : plus grande ; console : portée réelle, FD P18‑717 ; angle libre d'une dalle sur deux bords en L : console, portée = distance à l'appui le plus proche) ; une portée imposée remplace celle de tous les nœuds.
• Écart assumé : aciers comprimés négligés (côté sécurité) ; les moments quasi permanents sont ceux de Wood et Armer calculés sur la combinaison G + ψ₂ Q (v1.12 ; auparavant somme des moments de Wood et Armer de G et de ψ₂ Q, un peu plus forte) pour la nappe gouvernante ; flèche après construction prise égale à w − w_j,inst (w_j,inst : flèche instantanée sous le poids propre, à défaut sous G, au moment de la pose des éléments fragiles), comme la feuille Flèche.
• Élancement limite (7.4.2) : information seulement, il ne remplace pas le calcul : l/d ≤ K [11 + 1,5 √f_ck ρ₀/ρ + 3,2 √f_ck (ρ₀/ρ − 1)^3/2] (ρ ≤ ρ₀) ou K [11 + 1,5 √f_ck ρ₀/ρ] (ρ > ρ₀, sans aciers comprimés), ρ₀ = 10⁻³ √f_ck ; valeurs recommandées de K du tableau 7.4N choisies d'après les liaisons (1,0 dalle appuyée, valeur la plus faible des dalles portées ; 1,2 plancher-dalle ; 0,4 console encastrée sur un seul bord) ; ρ = plus grand rapport A/(b d) des sections retenues ; facteurs 500/f_yk (7.4.2(2)) et 7/l au-delà de 7 m (8,5/l pour un plancher-dalle).
• Écart assumé : dispense de flèche B.7.5 : le rapport M_t/M_x est pris égal à 1 (h/l_x ≥ 1/20) : le texte compare h/l_x à M_t/(20 M_x) : la feuille ne calcule pas le moment isostatique de référence : côté sécurité (dispense plus rarement accordée). Depuis la v1.11, la dispense est réservée aux dalles rectangulaires sur appuis linéaires continus (aucun nœud en console ni sans appui dans l'axe, aucun panneau de plancher-dalle, aucun appui ponctuel), l_x est la plus grande des petites portées des panneaux lues nœud par nœud (ou la portée imposée) et A/(b d) est le plus grand taux des quatre nappes retenues (nappe tendue la plus ferraillée) ; le verdict de la flèche et le § 4.1 de la note appliquent le même test.