Objet

Poutre droite reposant, sur tout ou partie de sa longueur, sur un sol ou un support élastique continu (modèle de Winkler), avec ou sans appuis ponctuels rigides, encastrés ou élastiques : déplacements, rotations, moments fléchissants, efforts tranchants, réactions des appuis et pression sur le sol. Exemples d'emploi : semelle filante, longrine ou poutre de radier, chemin de roulement sur dallage, poutre continue sur appuis déformables.

Modèle

• Poutre d'Euler-Bernoulli (déformation d'effort tranchant négligée), petits déplacements, poutre élastique, rigidité E I constante ou par tronçons. Avec un sol sans traction, la zone de contact dépend des charges : la réponse n'est pas linéaire, chaque combinaison est calculée séparément et les résultats de deux calculs ne s'additionnent pas.
• Charges Q : de 2 à 8 charges Q sont indépendantes ; la feuille calcule G + toutes les Q, chacune de leurs dispositions partielles (chaque charge Q présente ou absente) et G seul, chaque cas avec son propre décollement, et retient l'enveloppe (valeurs extrêmes, contrainte sur le sol, réactions des appuis, ferraillage). Les diagrammes et le tableau des valeurs portent sur G + toutes les Q. Case « charges Q indissociables » : G + toutes les Q et G seul.
• Support continu : réaction linéique p = −k w, k (kN/m²) étant la raideur par mètre de poutre, soit le module de réaction du sol K_s (kN/m³) multiplié par la largeur d'appui B (m). Les zones élastiques peuvent se recouvrir, leurs raideurs s'ajoutent.
• Appuis ponctuels : articulé (w = 0), encastré (w = 0 et rotation nulle) ou ressort de raideur K (kN/m), bilatéral par défaut ou sans traction (case à cocher : le ressort tendu est retiré par itérations, comme le sol).
• Résolution par éléments finis à deux nœuds (fonctions d'Hermite, solution exacte de la poutre sans sol aux nœuds, intégration de Gauss de la raideur du sol) ; maillage d'au moins N éléments, avec nœuds aux appuis, aux limites des zones, des tronçons et des charges.
• Efforts en tout point par l'équilibre du tronçon à gauche du point (charges et réaction du sol intégrées), ce qui donne les sauts exacts au droit des charges et des appuis.
• Sol sans traction : le support continu ne travaille qu'en compression ; les zones où la poutre se soulève (w > 0) sont retirées du support et le calcul est repris jusqu'à stabilité des zones décollées.

Conventions

• x de l'origine (extrémité gauche) vers l'extrémité droite. Charges transversales positives vers le bas ; couple appliqué positif dans le sens horaire.
• Déplacement w positif vers le haut (une valeur négative est un enfoncement) ; rotation positive dans le sens trigonométrique.
• Moment positif quand la fibre inférieure est tendue ; effort tranchant V = dM/dx. Réactions positives vers le haut ; pression sur le sol positive en compression.
• Les charges sont saisies avec leurs valeurs caractéristiques (sans coefficient) et leur nature : G (permanente) ou Q (d'exploitation). Poids propre de la poutre (25 kN/m³, section rectangulaire ou en Té renversé) ajouté en G si la case est cochée.
• Combinaisons (BAEL A.3.3,21 et A.3.3,3) : ELS G + Q (et G seul s'il y a des charges Q) pour la déformée, les efforts, la pression sur le sol et les contraintes ; ELU 1,35 G + 1,5 Q, 1,00 G + 1,5 Q (charges permanentes favorables, chaque disposition des charges Q comprise) et 1,35 G seul pour le béton armé et les réactions ELU ; chaque combinaison est résolue (sol sans traction : la superposition n'est pas exacte), puis les enveloppes sont prises. Réactions des appuis ponctuels : minimum et maximum sur toutes les combinaisons ELS et ELU, avec la combinaison déterminante (pour les poteaux, les appuis et les ressorts) ; le tableau sous G + toutes les Q reste donné en annexe.

Domaine et limites

• Le modèle de Winkler ignore la diffusion des charges dans le sol (pas de couplage entre points voisins) : le choix de K_s, qui dépend de la largeur chargée et de la durée des charges, relève de l'étude de sol.
• Contrainte sur le sol : σ = p/B sous les combinaisons ELS calculées (valeurs caractéristiques), confrontée à q_adm, limite de service donnée par l'étude de sol ; la vérification est faite si B et q_adm sont saisis. Les autres états limites géotechniques (portance à l'ELU, glissement) relèvent d'une justification distincte.
• Flexion dans un seul plan ; pas de torsion. Module E vide : module différé E_v = 3 700 f_c28^1/3 (BAEL A.2.1,22), adapté aux charges de longue durée sur le sol.

Béton armé (BAEL 91 révisé 99)

• Le BAEL 91 révisé 99 donne seul le verdict : pas de calcul EC2 dans cette feuille.
• Fissuration retenue par défaut : préjudiciable (semelles, longrines et poutres en contact avec le sol) ; la valeur retenue est rappelée dans les résultats et dans la note.
• Valeurs du BAEL retenues : γ_b = 1,5, γ_s = 1,15, θ = 1, n = 15, ψ_s = 1,5, c_g = 25 mm, barres HA (η = 1,6), allongement des aciers limité à 10 ‰. Domaine : f_c28 ≤ 60 MPa (au-delà, case en erreur « hors domaine de la feuille ») ; f_t28 = 0,6 + 0,06 f_c28 ; ε_bc = 3,5 ‰, ramené à (4,5 − 0,025 f_c28) ‰ au-delà de 40 MPa (A.4.3,41).
• Vérifications : chaque ligne donne son rapport valeur/limite ; coefficient de réserve λ = plus petit rapport limite/valeur (sol, contraintes ELS, τ_u, 4 %, cadres), ligne dimensionnant = plus grand rapport valeur/limite ; sous chaque ligne non vérifiée, risque et remèdes. Résultats clés dans la carte du schéma ; équilibre vertical ΣV = 0 et zones décollées contrôlés sur toutes les combinaisons ; enveloppes ELU et ELS lues aux nœuds du modèle.
• Flexion : sections à l'ELU (parabole-rectangle, pivots A et B) sous les moments extrêmes des deux signes, puis section tendue augmentée jusqu'à σ_bc ≤ 0,6 f_c28 et σ_s ≤ σ̄_s (A.4.5,33 et A.4.5,34) ; « hors ELS » si 12 % de b₀ d ne suffisent pas ; section supérieure à 4 % de b₀ d signalée. Non-fragilité (A.4.2,1) : I f_t28/(0,81 h v' f_e) par face.
• Effort tranchant (A.5.1) : âme b₀, d de la face tendue, armatures droites A.5.1,23 avec k = 1 (0 en fissuration très préjudiciable), f_tj* = min(f_tj ; 3,3 MPa), sans réduction au voisinage des appuis.
• Épure d'arrêt des barres : enveloppe des sections nécessaires sur un maillage propre à l'épure (nœuds du modèle subdivisés, pas au plus max(10 cm ; L/200), indépendant de l'intervalle d'affichage Δx), sections interpolées linéairement sur des fonctions A(M) tabulées à partir du calcul exact (ELU des deux signes, ELS sans acier comprimé, du côté de la sécurité ; l'écart avec le calcul exact aux points du tableau est imprimé) ; décalage de 0,8 h par balayage continu (maximum sur [x − 0,8 h ; x + 0,8 h]), limites des renforts interpolées puis prolongées de l_s ; A_t/s_t nécessaire lue sur le même maillage pour la répartition des cadres. Barres filantes et renforts ; largeur utile des lits = largeur de la face moins deux fois (enrobage des barres + cadre φ_t), sans cadre pour la semelle d'un Té renversé ; espacement libre max(φ ; 1,5 c_g) (A.7.2,3) ; entraxe au plus 33 / 25 / 20 cm selon la fissuration. Cadres φ6 à φ16, série commune d'espacements 5 à 40 cm.

Écarts assumés

• Écart assumé : sol sans traction systématique : le modèle de Winkler est bilatéral : un sol ne retient pas la poutre (décision du 25/09/2026) : physiquement adapté à un sol non adhérent, mais pas toujours du côté de la sécurité (certains efforts, un moment négatif par exemple, sont plus faibles qu'avec un sol bilatéral).
• Écart assumé : effort tranchant sans réduction au voisinage des appuis, zones d'appui (aciers à ancrer, bielles d'about) non vérifiées : BAEL A.5.1,2, A.5.1,31 et A.5.1,313 : pour une semelle filante il n'y a pas d'appui au sens du BAEL ; pour une poutre sur appuis ponctuels, renvoi à Caquot ou PCont : sécurité sur τ_u, vérification d'appui à faire ailleurs (écrit dans la note).
• Charges permanentes favorables (décision du 06/10/2026) : la combinaison 1,00 G + 1,5 Q est résolue à côté de 1,35 G + 1,5 Q (avec chaque disposition des charges Q) et l'enveloppe des deux est retenue pour les efforts, les sections et les réactions (A.3.3,21). Écart assumé restant : les charges G saisies ne sont pas distinguées par origine (toutes à 1,35 ou toutes à 1,00, pas de 1,35 G_max + G_min mêlés).
• Écart assumé : pression du sol à la frontière d'une zone décollée prise nulle quand le calcul la donne négative : p = −k w du milieu de l'élément : lissage numérique : sans effet sur l'équilibre.
• Écart assumé : entraxe maximal des barres 33 / 25 / 20 cm : règle des dalles (A.8.2,42) étendue aux poutres : décision du gérant : sécurité.

Saisie des valeurs

Nombres seulement : chiffres, virgule ou point, signe moins. Les autres caractères sont refusés à la frappe ; un collage qui en contient est refusé en entier (rien n'est inséré, message « collage refusé : nombres seulement »). Une valeur qui n'est pas un nombre (par exemple « 1,2,3 ») est signalée « nombre invalide » et bloque le calcul. Points supplémentaires : abscisses séparées par des points-virgules. Les champs texte (affaire, élément, référence, indice, rédacteur) restent libres. Cases vides des tableaux et de la note : « sans objet » quand la donnée ne s'applique pas, « à renseigner » quand une valeur est attendue mais ne peut être calculée faute de donnée.