Objet

Calcul de la flèche d'une poutre isostatique ou d'une console en béton armé, de section rectangulaire ou en T (table comprimée), à l'état limite de service, à partir des moments de service :

• M_j : moment dû aux charges permanentes appliquées avant la mise en place des cloisons ;
• M_g : moment dû à l'ensemble des charges permanentes ;
• M_p : moment dû aux charges permanentes et d'exploitation.

Moments pris au point le plus sollicité : mi-travée pour une poutre isostatique, encastrement pour une console.

Un seul règlement par calcul, choisi en tête de la carte « Matériaux et armatures » : BAEL 91 révisé 99 ou Eurocode 2 (NF EN 1992‑1‑1). La saisie, les résultats, le verdict et la note ne portent que sur le règlement choisi.

Domaine de la feuille : f_c28 (BAEL) ou f_ck (EC2) de 12 à 60 MPa. Au-delà, la case est en erreur « hors domaine de la feuille » : les formules des bétons ordinaires (f_tj = 0,6 + 0,06 f_cj, E_i, E_v) ne s'appliquent plus aux bétons à hautes performances (BAEL A.2.1,12 et annexe F).

Coefficient de réserve λ : plus grand multiplicateur commun des trois moments de service M_j, M_g, M_p pour lequel la flèche reste vérifiée (λ ≥ 1 : vérifié ; borné à 20). La ligne dimensionnante est celle du plus grand rapport valeur/limite ; sous une ligne non vérifiée, la note donne le risque et les remèdes (section d'aciers tendus nécessaire, hauteur). Équilibre : sans objet, les moments sont des données.

BAEL 91 révisé 99 (B.6.5,2 et B.6.5,3)

• Flèche nuisible Δf_t = f_gv − f_ji + f_pi − f_gi ; flèche sous charges totales f_gq = f_gv + f_pi − f_gi.
• f = k M l²/(E I_f) avec k selon le cas de charge choisi : poutre isostatique 1/10 (charge répartie, commentaire de B.6.5,2) ou 1/12 (charge ponctuelle à mi-travée) ; console 1/4 (charge répartie) ou 1/3 (charge ponctuelle en bout). E_i = 11 000 f_cj^1/3 (A.2.1,21, instantané) et E_v = 3 700 f_cj^1/3 (A.2.1,22, différé), avec f_cj = f_c28 par défaut ; la case « béton de plus de 28 jours » prend f_cj = 1,1 f_c28 pour E et f_tj ensemble (A.2.1,11), refusée au-delà de f_c28 = 40 MPa.
• Inertie fictive I_f = 1,1 I₀/(1 + λ μ) ; I₀ : inertie de la section totale homogénéisée (n = 15) ; λ_i = 0,05 f_tj/((2 + 3 b₀/b) ρ), λ_v = 0,4 λ_i ; ρ = A/(b₀ d) ; μ = 1 − 1,75 f_tj/(4 ρ σ_s + f_tj), positif ou nul, σ_s contrainte de l'acier tendu sous le moment considéré (section fissurée, n = 15).
• Flèche limite : l/500 si l ≤ 5 m, 0,5 cm + l/1000 au-delà ; console : l/250 jusqu'à 2 m ; au-delà, le BAEL renvoie aux pièces du marché : valeur indicative du FD P18‑717 (l/250 si l < 2,50 m, 0,5 cm + l/500 au-delà, l longueur réelle de la console : ce sont les limites des poutres appliquées à une portée 2 l) avec un avertissement, ou flèche admissible imposée saisie (la note cite alors « pièces du marché » comme référentiel).
• Dispense de calcul (B.6.5,1), poutres : h/l ≥ 1/16, h/l ≥ M_t/(10 M₀) (égal à 1/10 pour une poutre isostatique, M_t = M₀) et A/(b₀ d) ≤ 4,2/f_e ; l'outil les contrôle et donne le calcul dans tous les cas.
• Si la flèche n'est pas vérifiée, l'outil donne la section d'aciers tendus qui la ramène à la limite, les aciers comprimés restant inchangés.

Eurocode 2 : NF EN 1992‑1‑1, 7.4.3

• Courbure interpolée entre l'état non fissuré et l'état fissuré : 1/r = ζ (1/r)_II + (1 − ζ)(1/r)_I, ζ = 1 − β (M_cr/M_max)², β = 1 à court terme, 0,5 à long terme. Choix de la feuille, du côté de la sécurité (7.4.3(3) ne les précise pas) : ζ est évalué sous le moment maximal atteint par la section (M_p pour la flèche à long terme, car les fissures ouvertes sous M_p ne se referment pas ; M_j pour la flèche instantanée avant cloisons), les courbures restant calculées sous le moment de la combinaison (M_qp ou M_j) ; un seul moment de fissuration M_cr = f_ctm I_I/v', sur la section homogénéisée à court terme (α_e = E_s/E_cm), plus petit que sur la section à long terme.
• Fluage par module effectif E_c,eff = E_cm/(1 + φ) ; flèche f = k (1/r) l², k = 5/48 ou 1/12 (isostatique, charge répartie ou ponctuelle à mi-travée), 1/4 ou 1/3 (console, charge répartie ou en bout).
• Retrait (7.4.3(6)) : courbure 1/r_cs = ε_cs α_e S/I (S : moment statique des armatures par rapport au centre de gravité, états non fissuré et fissuré interpolés par ζ), constante le long de l'élément : f_cs = (1/r_cs) l²/8 (poutre) ou l²/2 (console), ajoutée à la flèche à long terme. ε_cs saisi ; vide : calculé par 3.1.4 et l'annexe B.2, ε_cs = k_h ε_cd,0 + 2,5 (f_ck − 10) 10⁻⁶, avec une humidité relative de 50 % (ambiance intérieure, côté sécurité), un ciment de classe N et h₀ = 2 A_c/u de la section saisie (0,47 ‰ pour une section 30 × 60 en C25/30) ; 0 : retrait non pris en compte, la note l'écrit.
• Vérifications (7.4.1(4) et (5)) : flèche à long terme sous combinaison quasi permanente M_qp = M_g + ψ₂ (M_p − M_g) ≤ l/250, et flèche après la pose des cloisons (long terme moins instantané sous M_j) ≤ l/500 ; l/500 est conservé au-delà de 5 m (7.4.1(5) ne prévoit pas de terme 0,5 cm + l/1000) ; console (7.4.1 ne traite pas les consoles) : limites du FD P18‑717 avec l longueur réelle de la console, w ≤ l/250 et Δw ≤ l/250 si l < 2,50 m, 0,5 cm + l/500 au-delà, c'est-à-dire les limites des poutres (l/500 jusqu'à 5 m, 0,5 cm + l/1000 au-delà) appliquées à une portée 2 l ; limites imposées par les pièces du marché prioritaires si elles sont saisies (la note cite alors « pièces du marché » comme référentiel).
• Si une limite est dépassée, l'outil donne la section d'aciers tendus qui ramène la plus défavorable des deux flèches à sa limite, les aciers comprimés restant inchangés.
• Dispense de calcul par l'élancement limite (7.4.2) : non traitée ; la flèche est calculée dans tous les cas (7.4.3).

Référentiel et verdict

• Le verdict (pastille globale, conclusion de la note, section d'aciers nécessaire) est celui du BAEL 91 révisé 99.
• Le verdict (pastille globale, conclusion de la note, section d'aciers nécessaire) est celui de la NF EN 1992‑1‑1 (2005) et de son annexe nationale NF EN 1992‑1‑1/NA, retenue à défaut d'annexe nationale marocaine ; paramètres nationaux utilisés : aucun paramètre de 7.4 n'est modifié par l'annexe (limites l/250 et l/500 de 7.4.1, β = 1 ou 0,5 de 7.4.3(3)). Étendue : flèche à long terme et après cloisons (7.4.3), retrait compris ; non traités : élancement limite (7.4.2), ouverture des fissures.
• Fissuration : son influence sur la rigidité est prise en compte (inerties fictivescoefficient ζ) ; l'ouverture des fissures n'est pas vérifiée par cet outil.

Écarts assumés

• Console : limites du FD P18‑717 (guide d'application français de l'Eurocode 2) exprimées sur la longueur réelle l de la console ; elles sont identiques aux limites des poutres appliquées à une portée 2 l, sauf la limite de w (l/250, soit 2 l/500), plus sévère au-delà de 2,50 m ; 7.4.2(2) ne concerne que l'élancement limite et ne prescrit pas de portée équivalente.
• Écart assumé : retrait final ε_cs laissé vide : calculé par 3.1.4 avec HR = 50 % et un ciment de classe N ; pour une ambiance extérieure (HR 80 %) la valeur réelle est plus faible, pour un ciment de classe R plus forte : saisir alors ε_cs.

• Écart assumé : f_cj des déformations : f_cj = f_c28 par défaut, alors que le programme d'origine prenait 1,1 f_c28 sans condition : le BAEL A.2.1,11 n'admet 1,1 f_c28 qu'au-delà de 28 jours et pour f_c28 ≤ 40 MPa : option cochable, appliquée ensemble à E et à f_tj : côté sécurité par défaut (flèches environ 3 % plus grandes que le programme d'origine).
• Console de plus de 2 m : le commentaire de B.6.5,3 renvoie aux pièces du marché ; la feuille applique la valeur indicative du FD P18‑717 (l/250 si l < 2,50 m, 0,5 cm + l/500 au-delà, l longueur réelle de la console) avec un avertissement, sauf flèche admissible imposée saisie.
• Écart assumé : inertie I₀ de la section totale homogène : aciers comptés n A sans déduire le béton déplacé : usage courant de B.6.5,2 : écart de l'ordre de 1 %, côté insécurité négligeable.
• Écart assumé : travée isostatique seule : la condition de dispense h/l ≥ M_t/(10 M₀) est prise égale à 1/10 : exacte pour une poutre isostatique ; une travée continue n'est pas traitée par la feuille.

Saisie des valeurs

Nombres seulement : chiffres, point ou virgule indifféremment, signe moins en tête. Les autres caractères sont refusés à la frappe ; un collage qui en contient est refusé en entier, rien n'est inséré (« collage refusé : nombres seulement »). Un nombre mal formé (par exemple « 1,2,5 ») est signalé « nombre invalide » et bloque le calcul. Les champs de texte (affaire, élément, référence, rédacteur) restent libres.