Objet

Vérification de la stabilité de forme d'un poteau en béton armé de section constante, symétrique par rapport au plan de flambement, soumis en tête à un effort normal N et à un moment du premier ordre M₁, par la méthode de la colonne modèle :

• recherche de l'équilibre : sous N_ue et M_ue donnés, déformée d'équilibre, flèche et rotation en tête, moment du second ordre, et rapport N_ue/N_uc à la charge critique ;
• charge critique : plus grand effort normal N_uc que la colonne peut équilibrer avec une excentricité du premier ordre donnée.

Un seul règlement par calcul, choisi en tête de la carte Matériaux de la saisie : BAEL 91 révisé 99 (article A.4.4, état limite ultime de stabilité de forme) ou Eurocode 2 (NF EN 1992‑1‑1, 5.8.6, méthode générale, et son annexe nationale française). La saisie, les résultats, le verdict et la note ne portent que sur le règlement retenu ; pour comparer, refaire le calcul dans l'autre règlement.

Référentiel et régime de vérification

• Le BAEL 91 révisé 99 donne seul le verdict (pastille globale et conclusion de la note), pourcentage d'armatures longitudinales A.8.1,21 compris.
• Étendue : colonne modèle (A.4.4), excentricité additionnelle (A.4.3,5), pourcentage d'armatures (A.8.1,21) ; l'excentricité forfaitaire du second ordre (A.4.3,5) et le domaine de la méthode forfaitaire (B.8.4) sont affichés pour comparaison. Non traités : flexion déviée, armatures transversales (A.8.1,3, rappelées dans la note).
• Fissuration : sans objet (état limite ultime seul).
• Coefficients de sécurité fixés et affichés (combinaisons fondamentales) : γ_b = 1,5 et γ_s = 1,15 ; θ reste au choix selon la durée d'application des charges.

• La NF EN 1992‑1‑1 (2005) et son annexe nationale NF EN 1992‑1‑1/NA, retenue à défaut d'annexe nationale marocaine, donnent seules le verdict (pastille globale et conclusion de la note), pourcentage d'armatures longitudinales 9.5.2 compris ; paramètres nationaux utilisés : α_cc = 1, γ_c = 1,5, γ_s = 1,15 (2.4.2.4), γ_cE = 1,2 (5.8.6(3)), θ₀ = 1/200 (5.2(5)).
• Étendue : méthode générale 5.8.6 (équilibre, charge critique, résistance de la section), imperfection 5.2(7), excentricité minimale 6.1(4), pourcentage d'armatures 9.5.2 ; élancement limite 5.8.3.1 et courbure nominale 5.8.8 en contrôles informatifs. Non traités : flexion déviée, moments d'extrémité différents (5.8.8.2(2)), armatures transversales (9.5.3, rappelées dans la note).
• Fissuration : sans objet (état limite ultime seul).
• Coefficients de sécurité fixés et affichés (combinaisons fondamentales) : γ_c = 1,5 et γ_s = 1,15 (2.4.2.4).

Colonne modèle

• Colonne équivalente : console de hauteur l_f/2, encastrée en pied et libre en tête, l_f étant la longueur de flambement (longueur efficace l₀ de 5.8.3.2) de l'élément réel de hauteur l, donnée par l'utilisateur selon ses appuis réels (la colonne équivalente n'est pas l'élément réel : pour une console réelle de hauteur l, l_f = 2 l).
• Colonne modèle : la déformée de la colonne équivalente est une sinusoïde : flèche en tête f = (l_f²/π²) · (1/r), où 1/r est la courbure de la section d'encastrement ; rotation en tête ω = π f / l_f.
• Poteau réel (v1.9, contrôle 12) : la même colonne équivalente est aussi calculée sans déformée imposée : la courbure de chaque section est déduite de la relation moment‑courbure sous N, le moment valant M₁ + N (f − u(x)), et intégrée sur la hauteur l_f/2 (u(0) = u′(0) = 0, f = u(l_f/2)). Avec un moment du premier ordre constant, la courbure ne s'annule pas en tête et la sinusoïde sous‑estime la flèche (jusqu'à 19 % à faible charge, environ 4 à 5 % sur le moment des exemples 1 et 6). La feuille retient le plus défavorable des deux calculs : le plus grand moment total pour la résistance de la section, la plus faible charge critique pour la stabilité.
• Moment dans la section d'encastrement : M = M₁ + N f. L'équilibre est atteint pour la plus petite courbure telle que le moment résistant de la section sous N, à cette courbure, égale M₁ + N f. S'il n'existe pas avant l'épuisement de la section, la colonne est instable.
• La section est découpée en fines tranches horizontales ; les sections circulaires et annulaires sont intégrées exactement, leurs armatures étant réparties uniformément sur le cercle des centres de gravité. Moments rapportés au centre de gravité de la section de béton ; béton tendu négligé ; béton déplacé par les armatures comprimées déduit.
• La charge critique est recherchée à excentricité du premier ordre constante (M₁ proportionnel à N).

Vérifications

• Le second ordre est pris en compte dans toutes les vérifications : le moment dans la section d'encastrement est le moment total M = M₁ + M₂, avec M₂ = N f, f étant la flèche d'équilibre calculée avec les lois de comportement ci‑dessous (fluage compris).
• Résistance de la section d'encastrement : M₁ + M₂ ≤ M_Rd, moment résistant ultime de la section sous N_ue (pivots A, B et C).
• Stabilité de forme : N_ue ≤ N_uc. Au‑delà de N_uc, la flèche croît plus vite que la résistance de la section et aucun équilibre n'existe, même si la section n'est pas épuisée.
• Coefficient de réserve λ : plus grand multiplicateur des efforts N_ue et M_ue (proportionnels, excentricité du premier ordre constante) pour lequel toutes les vérifications restent satisfaites, λ = min(N_uc/N_ue ; M_Rd/(M₁ + M₂)) ; la ligne « dimensionnante » est celle du plus grand rapport valeur / limite ; sous chaque ligne non vérifiée, le risque et les remèdes sont indiqués ; la note imprime le contrôle de l'équilibre (ΣN, ΣM) de la section d'encastrement.

BAEL 91 (A.4.4)

• Béton : diagramme parabole‑rectangle de A.4.3,41, f_bu = 0,85 f_cj/(θ γ_b), ε_bc = 2 ‰ au sommet de la parabole et, en limite, 3,5 ‰ jusqu'à f_c28 = 40 MPa puis (4,5 − 0,025 f_c28) ‰ au-delà (3,0 ‰ à 60 MPa, A.4.3,41) ; fluage pris en compte par une affinité parallèle à l'axe des déformations, de rapport 1 + α φ (α : part du moment du premier ordre due aux charges permanentes et quasi permanentes, avant pondération ; φ : coefficient de fluage, pris égal à 2).
• Acier : diagramme élasto‑plastique, E_s = 200 000 MPa, f_ed = f_e/γ_s, allongement limité à 10 ‰.
• Limites de la section : pivots A (10 ‰ dans l'acier le plus tendu), B (raccourcissement ultime du béton) et C (section entièrement comprimée, raccourcissement du point situé à 3/7 h de la fibre la plus comprimée limité au sommet de la parabole), toutes deux multipliées par 1 + α φ.
• Excentricité additionnelle e_a (ajoutée au moment du premier ordre) : poteau isolé max(2 cm ; l/250) (A.4.3,5) ; ossature à un niveau ou à plusieurs niveaux : max(2 cm ; l/250) + 0,01 l ou + 0,005 l (inclinaison d'ensemble de 0,01 ou 0,005 rad : valeurs d'usage non prévues par le BAEL, côté sécurité) ; ou saisie. Dans tous les modes, y compris « saisie » et « aucune » (efforts saisis déjà majorés), l'excentricité totale du premier ordre est portée au moins à max(2 cm ; l/250), minimum réglementaire de A.4.3,5.
• Domaine : f_c28 ≤ 60 MPa (au-delà, hors domaine de la feuille : case en erreur) ; λ > 70 : hors méthode forfaitaire B.8.4, la méthode générale de la feuille reste applicable. L'excentricité forfaitaire du second ordre e₂ de A.4.3,5 est affichée pour comparaison.
• Pourcentage d'armatures longitudinales (A.8.1,21), compris dans le verdict : A_min = max(4 cm² par mètre de périmètre ; 0,2 % B), A_max = 5 % B.

Eurocode 2 (5.8.6, méthode générale)

• Béton : loi 3.1.5 (expression 3.14) avec f_cm remplacé par f_cd = α_cc f_ck/γ_c et E_cm par E_cd = E_cm/γ_cE, γ_cE = 1,2 (5.8.6(3)) ; fluage par affinité de rapport 1 + φ_ef (5.8.6(4)), φ_ef = φ(∞,t₀) M_0Eqp/M_0Ed (5.8.4) saisi.
• Acier : diagramme élasto‑plastique à palier horizontal, f_yd = f_yk/γ_s, sans limite d'allongement (3.2.7(2)).
• Imperfection géométrique (5.2(7)) : e_i = θ_i l₀/2, θ_i = θ₀ α_h α_m, θ₀ = 1/200, α_h = 2/√l borné à [2/3 ; 1], α_m = √(0,5 (1 + 1/m)) ; ajoutée au moment de calcul M_0Ed avant l'analyse du second ordre ; ou saisie ; ou aucune (efforts saisis déjà majorés).
• Excentricité minimale (6.1(4)) : l'excentricité totale du premier ordre est portée au moins à e₀ = max(h/30 ; 20 mm), h étant la hauteur de la section dans le plan de flambement.
• Élancement limite (5.8.3.1) : λ_lim = 20 A B C/√n avec A = 1/(1 + 0,2 φ_ef), B = √(1 + 2ω), C = 0,7 (r_m inconnu), n = N_Ed/(A_c f_cd) ; courbure nominale (5.8.8) : 1/r = K_r K_φ ε_yd/(0,45 d), e₂ = (1/r) l₀²/c avec c = 8 (5.8.8.2(4) : moment du premier ordre constant, borne basse), M_Ed = M_0Ed + N_Ed e₂ comparé à M_Rd (sans fluage dans la loi de section) ; section symétrique : d = h/2 + i_s (domaine de 5.8.8.3) ; section dissymétrique : extension prudente, un calcul par face tendue avec d = hauteur utile des aciers tendus, comparé au M_Rd du même sens, satisfait si les deux sens passent, alerte sinon : contrôles à titre indicatif, hors verdict (remarque sous le tableau des vérifications, détail en annexe).
• Domaine : f_ck ≤ 60 MPa (au-delà, hors domaine de la feuille : case en erreur) ; paramètres de la loi 3.1.5 (E_cm, ε_c1, ε_cu1, ε_c2) du tableau 3.1 jusqu'à C60.
• Pourcentage d'armatures longitudinales (9.5.2), compris dans le verdict : A_s,min = max(0,10 N_Ed/f_yd ; 0,002 A_c), A_s,max = 4 % A_c hors recouvrements.

Écarts assumés

• Écart assumé : moment du premier ordre constant sur la hauteur : la feuille applique M₁ de la section d'encastrement sur toute la colonne équivalente ; le 5.8.8.2(2) admet un moment équivalent e_0e = 0,6 e₀₂ + 0,4 e₀₁ ≥ 0,4 e₀₂ pour des moments d'extrémité différents : côté sécurité pour le moment du premier ordre ; ce n'est pas une preuve de la sécurité de la déformée sinusoïdale, d'où le calcul du poteau réel ci‑dessus, dont le plus défavorable est retenu.
• Coefficient de fluage : φ = 2 par défaut (valeur usuelle de A.4.4), saisissable.
• Écart assumé : inclinaison d'ensemble des ossatures (0,01 l ou 0,005 l) : ajoutée à max(2 cm ; l/250) : le BAEL A.4.3,5 ne prévoit que max(2 cm ; l/250) : valeur d'usage pour une ossature : côté sécurité.
• Coefficient de fluage effectif φ_ef : à saisir selon 5.8.4 (φ(∞,t₀) de 3.1.4 ou de l'annexe B) ; au passage du BAEL à l'Eurocode 2, une case vide reçoit α φ, valeur approchée à vérifier.

Conventions

• Efforts ultimes pondérés ; N > 0 en compression ; M_ue > 0 tend la fibre inférieure du dessin.
• Cotes z des armatures comptées depuis la fibre supérieure ; tranches de béton décrites de haut en bas.

Saisie des valeurs

Nombres seulement : chiffres, point ou virgule indifféremment, signe moins en tête. Les autres caractères sont refusés à la frappe ; un collage qui en contient est refusé en entier, rien n'est inséré (« collage refusé : nombres seulement »). Une valeur mal formée (par exemple « 1,2,3 ») est signalée « nombre invalide » et bloque le calcul.